Enunciado

51- Nas partes (a) a (c), encontre o limite fazendo a substituição indicada.

a)   lim x → + ∞ ⁡ x   s e n 1 x ;     t = 1 x

b)  lim x → - ∞ ⁡ x   ( 1 - cos ⁡ 1 x ) ;     t = 1 x

c)  lim x → π ⁡ π - x s e n x ;     t = π - x

Passo 1

a)Galera, a primeira coisa que nós temos que perceber aqui é que se x tende a infinito pela direita, o t vai tender à zero pela direita. Ok ?

Além disso,

x = 1 t

Fazendo a substituição:

lim t → 0 + ⁡ 1 t   s e n   t

Isso fez vocês se lembrarem de algum Teorema ????

Porque eu acabei de me lembrar de um que é assim óh:

lim x → 0 ⁡   s e n   x x = 1

Já que nós temos esse Teorema....

lim t → 0 + ⁡ 1 t   s e n   t = 1

A vida podia ser fácil assim, né ?!

Passo 2

b) Galera, a primeira coisa que nós temos que perceber aqui é que se x tende a infinito pela esquerda, o t vai tender à zero pela esquerda. Ok ?

Além disso,

x = 1 t

Fazendo a substituição:

 lim t → 0 - ⁡ 1 t   ( 1 - cos ⁡ t )

Isso fez vocês se lembrarem de algum Teorema ????

Porque eu acabei de me lembrar de um que é assim óh:

lim x → 0 ⁡   1 - c o s   x x = 0

Já que nós temos esse Teorema....

 lim t → 0 - ⁡ 1 t   ( 1 - cos ⁡ t ) = 0

A vida podia ser fácil assim, né ?!

Passo 3

c) Galera, a primeira coisa que nós temos que perceber aqui é que se x tende   π , o t vai tender à zero. Ok ?

Além disso,

x = π - t

Fazendo a substituição:

  lim ⁡ t → 0 ⁡ t s e n ( π - t )

Vamos abrir esse seno no:

s e n a   c o s b - s e n b   c o s a

Pra ver se sai alguma coisa boa disso aí....

  lim ⁡ t → 0 ⁡ t s e n π   c o s t - s e n t   c o s π

Vamos melhorar fazendo isso:

 lim ⁡ t → 0   ⁡ 1 t s e n π   c o s t - s e n t   c o s π =     l i m ⁡ t → 0 s e n π   c o s t - s e n t   c o s π t  

Agora,

  l i m ⁡ t → 0 s e n π   c o s t t -   l i m ⁡ t → 0 s e n t   c o s π t

Fazendo o primeiro limite:

  l i m ⁡ t → 0 s e n π   c o s t t =   l i m ⁡ t → 0 0 × 1 t = 0

Resolvendo o segundo limite:

  l i m ⁡ t → 0 s e n t   c o s π t =   l i m ⁡ t → 0 s e n t   t ×   l i m ⁡ t → 0 cos ⁡ π  

Como:

lim x → 0 ⁡   s e n   x x = 1

Temos,

  l i m ⁡ t → 0 s e n t   t ×   l i m ⁡ t → 0 cos ⁡ π = 1 × - 1 = - 1

Assim,

  l i m ⁡ t → 0 s e n π   c o s t - s e n t   c o s π t = 0 - - 1 = 1

Resposta

a)1

b)0

c)1

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