Como você pode estimar o erro envolvido na aproximação da soma de uma série alternada com uma das somas parciais da série? Qual é o raciocínio por trás da estimativa?

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

O teorema de estimativa de série alternada fornece uma aproximação do erro envolvido na aproximação da soma de uma série alternada com uma das somas parciais da série. Se tivermos uma série alternada:

O erro máximo é menor que o valor absoluto do primeiro termo não utilizado e o restante,

tem o mesmo sinal do primeiro termo não utilizado.

Isso implica que a soma parcial de até terá um erro máximo de e o valor verdadeiro desse erro máximo será . Se L é o verdadeiro valor da soma desta série alternada, então:

O raciocínio para isso é que a soma dos termos restantes excluindo o primeiro termo é menor do que o primeiro termo não utilizado em magnitude, portanto, o sinal do erro deve estar de acordo com o sinal do primeiro termo não utilizado.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!