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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 15

Seja a n = 2 n 3 n + 1 .

  1. Determine se { a n } é convergente.
  2. Determine se ∑ n = 1 ∞ a n é convergente.

Passo 1

  1. Para sabermos se a sequencia de a n é convergente, só precisamos calcular o limite do termo geral da sequência quando n → ∞

    2. lim n → ∞ ⁡ a n = l i m n → ∞ 2 n 3 n + 1 =

    Colocando n em evidencia no denominador

    l i m n → ∞ 2 n n 3 + 1 n =

    Simplificando os n ’s

    l i m n → ∞ 2 3 + 1 n = 2 3

    A sequencia { a n } é convergente e seu limite é 2 / 3 .

    Passo 2

  2. Pelo teste da divergência, como lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , então a série

∑ n = 1 ∞ a n

Diverge.

Resposta

  1. Converge.
  2. Diverge.
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Melhore essa estimativa usando (3) com n = 10 .
33- (a) Use a soma dos dez primeiros termos para estimar a soma da série ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Quão boa é essa estimativa?
Encontre a soma parcial s 10 da série ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 . Estime o erro do uso de s 10 como uma aproximação da soma da série. Utilize (3) com n = 10 para dar uma estimativa melhorada da soma.
Mostre que, se queremos aproximar a soma da série ∑ n = 1 ∞ n - 1,001 de maneira que o erro seja menor que 5 na nona casa decimal, então precisamos somar mais que 10 11301 termos!
Estime ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 - 6 com precisão de cinco casas decimais.