Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 13
Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.
Passo 1
E aí, pessoal? Tudo tranquilo?
A questão começa pedindo para calcularmos 10 somas parciais da série. Para calcular a soma parcial vamos dizer que:
Onde:
E para isso só vamos precisar variar nosso valor de de 1 até 10.
Então plotaremos num software (Excel, GeoGebra, etc.) os dez primeiros termos de e de e tentaremos prever a convergência da série pela análise do gráfico.
Por fim, vamos calcular o valor dessa soma que nossa sequência terá caso seja convergente e nossa soma nada mais é que:
E nossa expressão para nós vamos encontrar analisando o comportamento dos 10 termos da nossa série.
Bora, então!
Passo 2
Para facilitar um pouco o processo, podemos dizer que
O que está entre parênteses é nada mais, nada menos que o termo anterior da sequencia de somas parciais, então
Vamos calcular as dez primeiras somas parciais
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Já deu pra perceber o padrão né? Sempre a segunda fração de um termo cancela com a primeira do próximo, fazendo então com que no -ésimo termo tenhamos a primeira fração do primeiro termo, que no caso é , com a segunda fração do último termo que é , desta forma, o termo geral da soma fica:
Como a questão pede vamos continuar calculando os termos, mas como sabemos qual o termo geral da soma, para saber quanto vale a série, basta jogar no limite.
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Passo 3
Montando o gráfico temos:
Os pontos foram plotados pelo usando as expressões:
E para os termos da sequência:
Com variando de 1 até 10.
Onde os pontos azuis são os termos e em vermelho temos .
Podemos ver que os termos então se aproximando de um limite que é , o que é necessário para a convergência da série. Já os termos de parecem se aproximar de um limite, mas com poucos termos assim não podemos dizer qual seria esse limite.
Mas como conhecemos o termo geral da soma, para descobrirmos o valor da série basta aplicarmos o limite:
No limite:
Usando a propriedade :
Como o limite da constante é a própria constante e, no caso do nosso segundo limite, faz , temos:
Portanto a série: