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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.7 - Ex. 10

Suponha g derivável em [a,b] e seja m tal que g ’ ( a ) < m < g ’ ( b ) . Prove que existe x em ]a,b[ tal g ’ ( c ) = m

Passo 1

Aqui temos que fazer algo muito parecido com o exercicio 8, mas irei fazer de outra forma.

Passo 2

Para resolver este problema temos que mostrar que exite g ' c = m onde g ’ ( a ) < m < g ’ ( b )

Então vou usar a demostração do teorema 1

Suponhamos que m seja um minimo ou máximo local. Assim existe g x ≤ g c   e m   ] a , b [   ∩ I

Assim,

g x ≤ g c   p a r a   t o d o   x   e m   ] a , b [

Como g é derivável em ]a,b[ os limites lateris são

lim x → c + ⁡ g x - g c x - c

E

lim x → c = ⁡ g x - g c x - c

Existem e são iguais a g’(c), logo

g ' c = lim x → c + ⁡ g x - g c x - c = lim x → c - ⁡ g x - g c x - c

Para a < x < c , g x - g c x - c ≤ m ; pela conservação do sinal

lim x → a + ⁡ g x - g a x - a ≤ m

Logo, g ' c ≤ m

Para c < x < b , g x - g c x - c ≥   m

lim x → c - ⁡ g x - g c x - c ≥ m

Logo, g ' c ≥ m . Como g ' c ≥ m e g ' c ≤ m resulta g ' c = m

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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