Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 60
60. A biomassa de uma população de peixe é o total de massa dos membros da população no tempo . É o produto do numero de indivíduos da população e a massa média do peixe no tempo . No caso dos guppies, a reprodução ocorre continuamente. Suponha que no tempo a população é de guppies e está crescendo à uma taxa de guppies por semana, enquanto a massa média é e está crescendo a uma taxa de . Em que taxa a biomassa estará crescendo quando ?
Passo 1
A questão quer saber a taxa de crescimento da biomassa, ou seja, a derivada da biomassa:
Do enunciado temos que:
Então sua derivada vai ser:
Como ele quer essa taxa no instante , o que precisamos encontrar é o seguinte:
Passo 2
E todos esses valores o enunciado nos dá, quando , a população é de:
e a taxa de crescimento da população é de:
Além disso, a massa média é igual a
e está crescendo a uma taxa de
Substituindo na equação, temos que: