Enunciado

Calcule a derivada.

h) y = (x^3 + 1)/(sen x)

Passo 1

Vamos por em pratica um truque novo que pode nos ajudar muito a resolver nossos problemas daqui pra frente. Sempre que tivermos uma função “bela, recatada e do lar”, ou seja, bem-comportada e continua. Rsrs. Podemos usar esse truque que nos economiza tempo e não precisamos fazer derivada pela definição. Esse truque é Regra do Quociente.

A Regra do Quociente funciona assim

(d)/(d x) ((f ( x ))/(g ( x ))) = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' ( x ))/(g ² ( x ))

É quase uma regra do produto , com pequenas alterações. 😊 Então a derivada d y // d x será calculada assim:

y = (x^3 + 1)/(sen x)

A derivada será d y // d x , calculada assim:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ((x^3 + 1)/(sen x))

Usamos a regra do quociente:

(d y)/(d x) = ((x^3 + 1)^' sen x - (x^3 + 1) (sen x)^')/((sen x)^2)

(d y)/(d x) = (3 x^2 sen x - (x^3 + 1) cos x)/(sen^2 x)

Esse truque demanda um pouquinho de pratica, mas nada muito difícil. Certo? Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução : ) : )

Resposta

(d y)/(d x) = (3 x^2 sen x - (x^3 + 1) cos x)/(sen^2 x)

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Seja x = cos ⁡ t . Verifique que d 2 x d t 2 + x = 0 .
Seja y = x 2 - 3 x . Verifique que x d 2 y d x 2 - d y d x = 3 .
Suponha que x = x t seja derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que d d t x d x d t = d x d t 2 + x d 2 x d t 2
Seja y = 1 x . Verifique que x 2 d 3 y d x 3 = 6 d y d x .
Calcule a derivada segunda. y = x 3 + 2 x - 3