Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 60
60- Desigualdade satisfeita pelas médias geométrica
- Demonstre que o gráfico de é côncavo para cima em qualquer intervalo de valores de .
- Demonstre, em relação à figura a seguir, que, se , então
- Use a desigualdade do item (b) para concluir que
Essa desigualdade diz que a média geométrica de dois números positivos é menor que a média logarítmica de ambos, que, por sua vez, é menor do que sua média aritmética. (Para saber mais sobre essa desigualdade, consulte BURK, Frank. The geometric, logarithmic, and arithmetic mean inequality. American Mathematical Monthly, v. 94, n. 6, jun./jul. 1987. p. 527-528.)
Passo 1
Letra a)
Fazendo as derivadas em relação a da função temos que:
Como é um número positivo temos que qualquer que seja o valor de , a função sempre terá um valor positivo e crescente (por conta de sua primeira derivada) e sempre terá concavidade para cima (devido a sua segunda derivada).
Passo 2
Letra b)
Com a figura conseguimos ver três áreas sendo representas:
O trapézio formado pelos pontos ADCB
A área formada pela exponencial e o eixo
E o trapézio formando pelos pontos ADFE
E visualmente conseguimos ver que:
A área do trapézio pode ser calculada por:
No trapézio ADFE temos:
Base menor= distância de AE=
Base maior= distância de DF=
Altura= distância AD=
Logo sua área será:
A exponencial faz o gráfico formado pela integral percorrendo o ponto A até o ponto D.
Já o trapézio ADCB não tem como precisar os tamanhos formados pelas retas AB e CD, mas sabemos qual é a sua altura média. Quer seria o formado pelo ponto M.
Pois uma vez que na fórmula do trapézio temos:
Logo nossa área para esse trapézio fica:
Portanto como queríamos demonstrar:
Passo 3
Letra c)
Fazendo a integral presente na desigualdade temos:
Como e temos:
Como
Dividindo todas as parcelas por temos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)