Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 60
60. Um tanque contém 100 litros de água pura e é despejada no tanque de água salgada contendo 2 kg de sal por litro, a uma taxa de 3 litros/min. A mistura, sendo agitada permentemente para se manter uniforme, escoa na mesma taxa. Quantos quilogramas de sal existirão no tanque ao final de 30 min?
Passo 1
Vamos organizar as taxas e estabelecer as condições iniciais, então montamos uma equação para o problema e matamos a questão encontrando a quantidade de sal.
Passo 2
Chamando de a quantidade de sal no tanque após min, temos que 2 kg/litro entram no tanque com taxa de 3 litros/min. Então:
(quantidade de sal por minuto)
E como a capacidade do tanque é 100 litros, após min haverá kg de sal por litro.
Como a taxa de saída é também 3 litros/min, então saem , ok?
Passo 3
Agora vamos escrever a variação de sal no tanque com o tempo, entram e saem , olha se não dá pra escrever assim:
E podemos separar as variáveis...
(dividindo os dois lados por 3)
Com isso podemos integrar dos dois lados
Passo 4
Vamos à integral...
( sendo uma constante)
Colocando elevando os dois lados
(
Passo 5
Agora, vamos buscar o valor de
Para , , logo:
A equação fica:
Passo 6
Agora ficou moleza calcular o
Queremos após 30 min
Acabou =]
Resposta
A quantidade de sal após 30 min será .