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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 64

Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

f x ,   y = s e n 2 x + 5 y ; f y x y

Passo 1

Então galera, a primeira coisa para facilitar o entendimento, é clarear o que essa notação que o enunciado utilizou quer dizer, tudo bem? O termo f y x y indica que teremos que derivar parcialmente na ordem como solicitada no enunciado.

Primeiro em y , depois em x e por último em y novamente.

Vamos começar!

Passo 2

Temos que encontrar as seguintes derivadas de ordem superior:

f y x y = ∂ ³ f ∂ y ∂ x ∂ y

E caso não se lembre, na notação de derivada pacial de ordem superior com o símbolo ∂ , começamos a derivar da direita para a esquerda, tudo bem?

Além disso, a segunda derivada consiste em derivar a primeira, a terceira derivada consiste em derivar a segunda e assim sucessivamente, ok?

Sabendo disso então já temos bagagem suficiente para resolver essa questão. Bora lá!

Passo 3

Descobrindo f y x y , teremos:

f x ,   y = s e n 2 x + 5 y

A primeira derivada será em relação a y .

f x ,   y = ∂ f ∂ y s e n 2 x + 5 y

Pela Regra da cadeira

Usamos a regra da cadeia, que diz que se u = g x , y e f = h u , então: ∂ f ∂ y = ∂ h ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y h u = s e n   u   ∴ u = 2 x + 5 y

h ' u = cos ⁡ u

Substituindo os termos

∂ y ∂ ​ s e n 2 x + 5 y = c o s 2 x + 5 y . ∂ ∂ y ​ ( 2 x + 5 y )

A derivada da segunda parte

∂ y ∂ ​ s e n 2 x + 5 y = c o s 2 x + 5 y . 5

∂ y ∂ ​ s e n 2 x + 5 y = 5   c o s 2 x + 5 y

Passo 4

A segunda derivada será em relação a x .

f x ,   y = ∂ f ∂ x 5   c o s 2 x + 5 y

Teremos que aplicar a regra da cadeira novamente

f x , y = 5 . - s e n 2 x + 5 y . ∂ ∂ x 2 x + 5 y

f x , y = - 10 . s e n 2 x + 5 y

Passo 5

E por último a derivada em relação a y .

f x , y = - 10 . cos ⁡ 2 x + 5 y . ∂ f ∂ y 2 x + 5 y

f ( x , y ) = - 50 . cos ⁡ 2 x + 5 y

Por fim, só para sintetizar, temos que:

f y x y = - 50 . cos ⁡ 2 x + 5 y

Resposta

f y x y = - 50 . cos ⁡ 2 x + 5 y

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