Seja z = f ( x , y ) , x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x∂ y e ∂ 2 f ∂ y∂ x são contínuas em A . Seja ( x 0 ,y 0 ) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro ( x 0 ,y 0 ) e contida em A . Sejam h e k tais que ( x 0 + h ,y 0 + k ) pertença a B . Seja ainda H h , k = f x 0 + h ,y 0 + k - f x 0 , y 0 + k - f x 0 + h , y 0 + f x 0 , y 0 Considere as funções ϕ t = f t ,y 0 + k - f ( t , y 0 ) e ρ s = f x 0 + h , s - f ( x 0 , s ) .Prove: existem t 1 e s 1 , com t 1 entre x 0 e x 0 + h e s 1 entre y 0 e y 0 + k , tais que H h , k = ∂ 2 f ∂ y∂ x t 1 ,s 1h k = ϕ x 0 + h - ϕ ( x 0 )

Enunciado

No item (a), mostramos que

Já no item (b), mostramos que existe entre e tal que

Vamos partir dessa expressão! Consideremos

Pelo teorema do valor médio, existe entre e tal que

Note que

Logo,

Portanto,

Demonstração.