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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 15c

Seja z = f ( x , y ) , x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x   ∂ y e ∂ 2 f ∂ y   ∂ x são contínuas em A . Seja ( x 0 ,   y 0 ) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro ( x 0 ,   y 0 ) e contida em A . Sejam h e k tais que ( x 0 + h ,   y 0 + k ) pertença a B . Seja ainda

H h , k = f x 0 + h ,   y 0 + k - f x 0 , y 0 + k - f x 0 + h , y 0 + f x 0 , y 0

Considere as funções ϕ t = f t ,   y 0 + k - f ( t , y 0 ) e ρ s = f x 0 + h , s - f ( x 0 , s ) .

Prove: existem t 1 e s 1 , com t 1 entre x 0 e x 0 + h e s 1 entre y 0 e y 0 + k , tais que

H h , k = ∂ 2 f ∂ y   ∂ x t 1 ,   s 1   h k = ϕ x 0 + h - ϕ ( x 0 )

Passo 1

No item (a), mostramos que

H h , k = ϕ x 0 + h - ϕ x 0 = ρ y 0 + k - ρ ( y 0 )

Já no item (b), mostramos que existe t 1 entre x 0 e x 0 + h tal que

ϕ x 0 + h - ϕ x 0 = ϕ ' t 1   h = ∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 h

Vamos partir dessa expressão! Consideremos

F s = ∂ f ∂ x ( t 1 ,   s )

Pelo teorema do valor médio, existe s 1 entre y 0 e y 0 + k tal que

∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 = F y 0 + k - F y 0 = F ' s 1   k

Passo 2

Note que

F ' s 1 = ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ( t 1 , s 1 )

Logo,

∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 = ∂ 2 f ∂ y   ∂ x t 1 , s 1   k

Portanto,

ϕ x 0 + h - ϕ x 0 = ∂ 2 f ∂ y   ∂ x t 1 , s 1   k h

Resposta

Demonstração.

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