Seja z = f(x, y) , (x, y) ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂f / ∂x e ∂f / ∂y estão definidas em A e que ∂²f / ∂x ∂y e ∂²f / ∂y ∂x são contínuas em A . Seja (x0, y0) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro (x0, y0) e contida em A . Sejam h e k tais que (x0 + h, y0 + k) pertença a B . Seja ainda

H(h, k) = f(x0 + h, y0 + k) - f(x0, y0 + k) - f(x0 + h, y0) + f(x0, y0)

Considere as funções ϕ(t) = f(t, y_0 + k) - f(t, y_0) e ρ(s) = f(x0 + h, s) - f(x0, s) .

Prove: existem t1 e s1 , com t₁ entre x0 e x₀ + h e s₁ entre y₀ e y₀ + k , tais que

H(h, k) = (∂²f) / (∂y ∂x) | t₁, s₁ = ϕ(x₀ + h) - ϕ(x₀)

Passo 1

No item (a), mostramos que

H h , k = ϕ x 0 + h - ϕ x 0 = ρ y 0 + k - ρ ( y 0 )

Já no item (b), mostramos que existe t 1 entre x 0 e x 0 + h tal que

ϕ x 0 + h - ϕ x 0 = ϕ ' t 1   h = ∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 h

Vamos partir dessa expressão! Consideremos

F s = ∂ f ∂ x ( t 1 ,   s )

Pelo teorema do valor médio, existe s 1 entre y 0 e y 0 + k tal que

∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 = F y 0 + k - F y 0 = F ' s 1   k

Passo 2

Note que

F ' s 1 = ∂ 2 f ∂ y   ∂ x ( t 1 , s 1 )

Logo,

∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 = ∂ 2 f ∂ y   ∂ x t 1 , s 1   k

Portanto,

ϕ x 0 + h - ϕ x 0 = ∂ 2 f ∂ y   ∂ x t 1 , s 1   k h

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados