Seja , , com aberto. Suponha que e estão definidas em e que e são contínuas em . Seja um ponto qualquer de ; seja uma bola aberta de centro e contida em . Sejam e tais que pertença a . Seja ainda
Considere as funções e .
Prove: existem e , com entre e e entre e , tais que
Passo 1
No item (a), mostramos que
Já no item (b), mostramos que existe entre e tal que
Vamos partir dessa expressão! Consideremos
Pelo teorema do valor médio, existe entre e tal que
Passo 2
Note que
Logo,
Portanto,
Resposta
Demonstração.