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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 14b

14. Seja z = int_1^(x^2 - y^2) [ int_0^u s e n t^2 d t ] d u . Calcule

a) (del^2 z)/(del x del y) b) (del^2 z)/(del x^2)

Passo 1

b) Lembrando que (del^2 z)/(del x^2) = (del)/(del x) ((del z)/(del x)) .

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (e aplicando a regra da cadeia)para calcular a primeira derivada de z , temos:

(del z)/(del x) = [ int_0^(x^2 - y^2) s e n t^2 d t ] ( 2 x )

E para calcular (del)/(del x) ((del z)/(del x)) , também usando o Teorema Fundamental do Cálculo e aplicando a regra da cadeia, ficamos com:

(del)/(del x) ((del z)/(del x)) = s e n (x^2 - y^2) (2 x) (2 x) + 2 int_0^(x^2 - y^2) s e n t^2 d t

(del)/(del x) ((del z)/(del x)) = 4 x s e n (x^2 - y^2) + 2 int_0^(x^2 - y^2) s e n t^2 d t

(del^2 z)/(del x^2) = 4 x s e n (x^2 - y^2) + 2 int_0^(x^2 - y^2) s e n t^2 d t .

No ponto (x , y) = (1,1) , temos

(del^2 z)/(del x^2) ( 1,1 ) = 4 ( 1 ) s e n (1^2 - 1^2) + 2 int_0^(1^2 - 1^2) s e n t^2 d t

(del^2 z)/(del x^2) (1,1) = 4 s e n (0) + 2 int_0^0 s e n t^2 d t

(del^2 z)/(del x^2) (1,1) = 4 ( 0 ) + 2 ( 0 )

(del^2 z)/(del x^2) (1,1) = 0

Resposta

(del^2 z)/(del x^2) (1,1) = 0

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Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.4- f x ,y ,z = y 2 z + s e n ( x 2 z ) , a ) f x z x ,y ,z , b ) f y z x ( x ,y ,z )
Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.2- f x ,y = x cos ⁡ y - y e x , a ) f y y x ,y , b ) f x y ( x ,y )
Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.3- f x ,y = ln ⁡ ( x 2 + 8 y - 3 z 2 ) , a ) f x x x ,y ,z , b ) f z y ( x ,y ,z )
8. Mostre que as funções satisfazem as respectivas equações de laplace:a) f ( x , y ) = ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) , mostra que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 .
10- Seja u x ,y = f x - a y + g ( x + a y ) , onde a é uma constante real e f e g são funções quaisquer de uma variável real, deriváveis até segunda ordem. Verifique que ∂ 2 u ∂ y 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2