14. Seja z = ∫ 1 x 2 - y 2 [ ∫ 0 u s e n   t 2 d t ]   d u .   Calcule

a) (∂^2 z) / (∂x ∂y) b)∂^2z/∂x^2

Passo 1

b) Lembrando que ∂ 2 z ∂ x 2 =   ∂ ∂ x ∂ z ∂ x .

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (e aplicando a regra da cadeia)para calcular a primeira derivada de z , temos:

∂ z ∂ x = [ ∫ 0 x 2 - y 2 s e n   t 2 d t ] ( 2 x )      

E para calcular ∂ ∂ x ∂ z ∂ x , também usando o Teorema Fundamental do Cálculo e aplicando a regra da cadeia, ficamos com:

∂ ∂ x ∂ z ∂ x = s e n   x 2 - y 2 2 x 2 x + 2 ∫ 0 x 2 - y 2 s e n   t 2 d t      

∂ ∂ x ∂ z ∂ x = 4 x   s e n   x 2 - y 2 + 2 ∫ 0 x 2 - y 2 s e n   t 2 d t      

∂ 2 z ∂ x 2 = 4 x   s e n   x 2 - y 2 + 2 ∫ 0 x 2 - y 2 s e n   t 2 d t .  

No ponto x , y = 1,1 , temos

∂ 2 z ∂ x 2 ( 1,1 ) = 4 ( 1 )   s e n   1 2 - 1 2 + 2 ∫ 0 1 2 - 1 2 s e n   t 2 d t  

∂ 2 z ∂ x 2 1,1 = 4 s e n   0 + 2 ∫ 0 0 s e n   t 2 d t  

∂ 2 z ∂ x 2 1,1 = 4 ( 0 ) + 2 ( 0 )

∂ 2 z ∂ x 2 1,1 = 0

Resposta

∂ 2 z ∂ x 2 1,1 = 0

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