Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

u = x^a * y^b * z^c; ∂^6u / (∂x ∂y² ∂z³)

Passo 1

Então galera, a primeira coisa para facilitar o entendimento, é clarear o que essa notação que o enunciado utilizou quer dizer, tudo bem? Teremos que resolver duas derivadas e ordem superior.

1 - Primeiro em z , três vezes.

2 - depois vamos derivar em relação a y duas vezes.

3 – e para finalizar em relação a x .

Lembre-se se ter cuidado com as propriedades de derivação, utilize quando necessário!

Vamos começar!

Passo 2

Temos que encontrar as seguintes derivadas de ordem superior:

u z z z y y x = ∂ 6 u ∂ x ∂ y ² ∂ z ³

E caso não se lembre, na notação de derivada pacial de ordem superior com o símbolo , começamos a derivar da direita para a esquerda, tudo bem?

Além disso, a segunda derivada consiste em derivar a primeira, a terceira derivada consiste em derivar a segunda e assim sucessivamente, ok?

Sabendo disso então já temos bagagem suficiente para resolver essa questão. Bora lá!

Passo 3

Descobrindo u z z z y y x , teremos:

u = x a y b z c

Primeira derivada em relação a z .

∂ u ∂ z = c x a y b . z c - 1

Segunda derivada, em relação a z .

∂ 2 u ∂ z ² = c . c - 1 . x a y b . z c - 2

Terceirra derivada, em relação a z novamente.

∂ 3 u ∂ z 3 = c . c - 1 . c - 2 . x a y b . z c - 3

Passo 4

Quarta derivada. Em relação a y .  

∂ 4 u ∂ y ∂ z 3 = b c . c - 1 . c - 2 . x a y b - 1 . z c - 3

Quinta derivada. Em relação a y .  

∂ 5 u ∂ y ² ∂ z 3 = b . b - 1 . c . c - 1 . c - 2 . x a y b - 2 . z c - 3

Passo 5

Sexta e última derivada. Em relação a x .

∂ 6 u ∂ x ∂ y ² ∂ z ³ = a . b . b - 1 . c . c - 1 . c - 2 . x a - 1 y b - 2 . z c - 3

Passo 6

Por fim, só para sintetizar, temos que:

u z z z y y x = ∂ 6 u ∂ x ∂ y ² ∂ z ³ = a . b . b - 1 . c . c - 1 . c - 2 . x a - 1 y b - 2 . z c - 3

Resposta

∂ 6 u ∂ x ∂ y ² ∂ z ³ = a . b . b - 1 . c . c - 1 . c - 2 . x a - 1 y b - 2 . z c - 3

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