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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 70

Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

u = x a y b z c ;   ∂ 6 u ∂ x ∂ y ² ∂ z ³

Passo 1

Então galera, a primeira coisa para facilitar o entendimento, é clarear o que essa notação que o enunciado utilizou quer dizer, tudo bem? Teremos que resolver duas derivadas e ordem superior.

1 - Primeiro em z , três vezes.

2 - depois vamos derivar em relação a y duas vezes.

3 – e para finalizar em relação a x .

Lembre-se se ter cuidado com as propriedades de derivação, utilize quando necessário!

Vamos começar!

Passo 2

Temos que encontrar as seguintes derivadas de ordem superior:

u z z z y y x = ∂ 6 u ∂ x ∂ y ² ∂ z ³

E caso não se lembre, na notação de derivada pacial de ordem superior com o símbolo ∂ , começamos a derivar da direita para a esquerda, tudo bem?

Além disso, a segunda derivada consiste em derivar a primeira, a terceira derivada consiste em derivar a segunda e assim sucessivamente, ok?

Sabendo disso então já temos bagagem suficiente para resolver essa questão. Bora lá!

Passo 3

Descobrindo u z z z y y x , teremos:

u = x a y b z c

Primeira derivada em relação a z .

∂ u ∂ z = c x a y b . z c - 1

Segunda derivada, em relação a z .

∂ 2 u ∂ z ² = c . c - 1 . x a y b . z c - 2

Terceirra derivada, em relação a z novamente.

∂ 3 u ∂ z 3 = c . c - 1 . c - 2 . x a y b . z c - 3

Passo 4

Quarta derivada. Em relação a y .  

∂ 4 u ∂ y ∂ z 3 = b c . c - 1 . c - 2 . x a y b - 1 . z c - 3

Quinta derivada. Em relação a y .  

∂ 5 u ∂ y ² ∂ z 3 = b . b - 1 . c . c - 1 . c - 2 . x a y b - 2 . z c - 3

Passo 5

Sexta e última derivada. Em relação a x .

∂ 6 u ∂ x ∂ y ² ∂ z ³ = a . b . b - 1 . c . c - 1 . c - 2 . x a - 1 y b - 2 . z c - 3

Passo 6

Por fim, só para sintetizar, temos que:

u z z z y y x = ∂ 6 u ∂ x ∂ y ² ∂ z ³ = a . b . b - 1 . c . c - 1 . c - 2 . x a - 1 y b - 2 . z c - 3

Resposta

∂ 6 u ∂ x ∂ y ² ∂ z ³ = a . b . b - 1 . c . c - 1 . c - 2 . x a - 1 y b - 2 . z c - 3

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Sejam f , g : A ∈ R 2 → R , A aberto, duas funções de classe C 2 e tais que ∂ f ∂ x = ∂ g ∂ y e ∂ f ∂ y = - ∂ g ∂ x Prove que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 e ∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ y 2 = 0 .
Verifique que x (del^2 z)/(del x del y) + y (del^2 z)/(del y^2) = 0 , onde z = (x + y) e^((x)/(y)) .
Seja f (x , y) = (1)/(x^2 + y^2) . Verifique que a) x (del^2 f)/(del x^2) (x , y) + y (del^2 f)/(del y del x) (x , y) = - 3 (del f)/(del x) (x , y) b) (del^2 f)/(del x^2) (x , y) + (del^2 f)/(del y^2)
Calcule todas as derivadas parciais de 2ª ordem:a) f x , y = x 3 y 2 b) z = e x 2 - y 2 c) z = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 d) g x , y = 4 x 3 y 4 + y 3
13. Seja z = f ( x , y ) de classe C 2 no aberto A e seja x 0 , y 0 ∈ A . Suponha que f x 0 , y 0 ≥ f ( x , y ) para todo x , y ∈A . Prove que ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 ≤ 0 e ∂ 2 f ∂ y x 0 , y 0 ≤ 0 .Inte