15. Seja z = f(x, y), (x, y) ∈ A, com A aberto. Suponha que ∂f / ∂x e ∂f / ∂y estão definidas em A e que ∂²f / (∂x ∂y) e ∂²f / ∂y ∂x são contínuas em A. Seja (x0, y0) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro (x0, y0) e contida em A . Sejam h e k tais que x₀ + h, y₀ + k pertença a B. Seja, ainda,

H(h, k) = f(x0 + h, y0 + k) - f(x0, y0 + k) - f(x0 + h, y0) + f(x0, y0)

b) Prove: existe t₁ entre x_0 e x₀ + h tal que

φ(x₀ + h) - φ(x₀) = φ'(t₁) * h = [ ∂f/∂x (t₁, y₀ + k) - ∂f/∂x (t₁, y₀) ] h.

Passo 1

Do item anterior, sabemos o seguinte:

φ t = f t , y 0 + k - f t , y 0

Logo,

φ x 0 + h = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 + h , y 0    

E

φ x 0 = f x 0 , y 0 + k - f x 0 , y 0

Pelo Teorema do Valor Médio, existe um x 1 no intervalo x 0 ,   x 0 + h tal que:

φ ' t 1 = φ x 0 + h - φ x 0 x 0 + h - x 0

Logo,

φ ' t 1 = φ x 0 + h - φ x 0 h

Passo 2

Pra finalizar, vamos encontrar φ ' t .

φ t = f t , y 0 + k - f t , y 0

Derivando,

φ ' t = ∂ f ∂ x t , y 0 + k - ∂ f ∂ x t , y 0  

Aplicando no ponto t 1

φ ' t 1 = ∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0

Portanto,

φ x 0 + h - φ x 0 = φ ' t 1 h = ∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 h

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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