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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 15b

15. Seja z = f x , y ,   x , y ∈ A , com A aberto. Suponha que ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y estão definidas em A e que ∂ 2 f ∂ x   ∂ y e ∂ 2 f ∂ y   ∂ x são contínuas em A. Seja ( x 0 , y 0 ) um ponto qualquer de A ; seja B uma bola aberta de centro x 0 , y 0 e contida em A . Sejam h e k tais que x 0 + h , y 0 + k ) pertença a B. Seja, ainda,

H h , k = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 + k - f x 0 + h , y 0 + f x 0 , y 0 .

b) Prove: existe t 1 entre x 0   e   x 0 + h tal que

φ x 0 + h - φ x 0 = φ ' t 1 h = ∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 h .

Passo 1

Do item anterior, sabemos o seguinte:

φ t = f t , y 0 + k - f t , y 0

Logo,

φ x 0 + h = f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 + h , y 0    

E

φ x 0 = f x 0 , y 0 + k - f x 0 , y 0

Pelo Teorema do Valor Médio, existe um x 1 no intervalo x 0 ,   x 0 + h tal que:

φ ' t 1 = φ x 0 + h - φ x 0 x 0 + h - x 0

Logo,

φ ' t 1 = φ x 0 + h - φ x 0 h

Passo 2

Pra finalizar, vamos encontrar φ ' t .

φ t = f t , y 0 + k - f t , y 0

Derivando,

φ ' t = ∂ f ∂ x t , y 0 + k - ∂ f ∂ x t , y 0  

Aplicando no ponto t 1

φ ' t 1 = ∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0

Portanto,

φ x 0 + h - φ x 0 = φ ' t 1 h = ∂ f ∂ x t 1 , y 0 + k - ∂ f ∂ x t 1 , y 0 h

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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7. Se f x , y = x e x y , mostre que x ∂ 3 f ∂ x 3 + y ∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 = 0
6-Se f x ,y = ln ⁡ x - y + t g x + y , mostre que ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ 2 f ∂ y 2
Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.1- f x ,y = x 2 + y 2 3 2 , a ) f x x x ,y , b ) f y x ( x ,y )
8. Mostre que as funções satisfazem as respectivas equações de laplace:b) f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 + z 2 , mostrar que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0 .
5-Seja f x ,y = x y 3 x 2 + y 2 ,x ,y ≠ ( 0 ,0 ) 0 ,x , y = ( 0,0 ) Mostre que ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( 0 ,0 ) ≠ ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( 0 ,0 )