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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 7

a) Determine o gradiente de f .

b) Calcule o gradiente no ponto P .

c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .

f x ,   y = x y ,   P 2 ,   1 ,   u = 3 5 i + 4 5 j

Passo 1

Fala galerinha! De boa?

Seguinte, se liga no que a questão quer e como faremos para resolver!

O objetivo da questão é determinar e calcular várias informações relacionadas à função f x ,   y = x y em um ponto específico P ( 2,1 ) e na direção de um vetor unitário u = 3 5 i + 4 5 j .

Para resolver podemos seguir os passos:

  1. Na letra A pede o gradiente de f ; o gradiente ∇ f é calcular pelas derivadas parciais

    2. ∂ x ∂ f ​   e ∂ f ∂ y

  2. Determinar o gradiente no ponto ( 2,1 )
  3. Calcular a taxa de variação de f na direção de u
  4. Temos que interpretar o resultados.

Podemos começar!

Passo 2

a) De acordo com a seção 14.6 do Stewart, o gradiente de f é calculado da seguinte forma:

∇ f x ,   y = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

Sendo assim, para determinarmos o gradiente precisamos encontrar as derivadas parciais em relação às variáveis que temos. Encontrando essas derivadas:

f x ,   y = x y

Para f x

∂ f ∂ x = 1 y

Para f y

f y = ∂ ∂ y ( x ∙ y - 1 )

f y = - 1 ∙ x ∙ y - 2

f y = ∂ f ∂ y = - x y 2

Substituindo as derivadas parciais no gradiente:

∇ f x ,   y = 1 y i - x y 2 j

Passo 3

b) Poxa, e como fazemos para calcular o gradiente no ponto em questão? É tranquilão pessoal, basta substituirmos o ponto nas nossas variáveis, saca só:

P ( 2 ,   1 )

∇ f 2 ,   1 = 1 1 i - 2 1 2 j

∇ f 2 ,   1 = i - 2 j

Passo 4

c) Por fim, para determinarmos a taxa de variação da função em questão, no ponto em questão e na direção de um vetor u qualquer, devemos fazer:

D u f x ,   y = ∇ f x ,   y . u

Como o gradiente no ponto já foi calculado no passo anterior e nosso vetor é:

u = 3 5 i + 4 5 j

Se substituirmos na expressão que acabamos de escrever para determinar a taxa de variação da função, teremos:

D u f 2 ,   1 = i - 2 j . 3 5 i + 4 5 j

D u f 2 ,   1 = 3 5 - 8 5 = - 5 5

∴ D u f 2 ,   1 = - 1

Portanto, a taxa de variação de f em P 2,1 na direção do vetor u = 3 5 i + 4 5 j é igual a - 1 .

Resposta

a) ∇ f x ,   y = 1 y i - x y 2 j

b) ∇ f 2 ,   1 = i - 2 j

c) D u f 2 ,   1 = - 1

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7- Considerando a função f x ,y = x 2 + y 2 - 2 y em P 0 = ( 2 ,2 ) . Determine:c)A direção na qual a taxa de variação f em P 0 é máxima.
Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto P 0 na direção do vetor u , nos seguintes casos:4- f x ,y ,z = s e nx y + cos ⁡( y z ) , P 0 = 1,0 ,- 1 ,u = ( - 1 ,2 ,2 )
5- Sejam f x ,y = x 3 x 2 + y 2 , x ,y ≠ ( 0 ,0 ) 0 ,x ,y = ( 0 ,0 ) e u = 1 ,1 . c)Justifique porque os valores encontrados em a) e b) são diferentes .
7- Considerando a função f x ,y = x 2 + y 2 - 2 y em P 0 = ( 2 ,2 ) . Determine:a)A taxa de variação de f em P 0 na direção do vetor 1 ,1 .
9-Considerando as superfícies: S 1 de equação x 2 + y ~ 2 + z - 2 2 = 4 , 2 ≤ z ≤ 4 , S 2 de equação z = 3 - x 2 2 - y 2 4 , 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 12 e S 3 de equação z = - 6 + 3 x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ 12