4-6. Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo theta .

4. f(x, y) = x * y^3 - x², (1, 2), θ = pi / 3

Passo 1

Faaaala galera! É o seguinte... Essa questão nos dá a função

f x ,   y = x y 3 - x ²

E quer a derivada dessa função no ponto ( 1,2 ) e na direção dada pelo ângulo π / 3 .

Temos que ter em mente que a derivada direcional de uma função f x , y na direção de um vetor unitário u → é dada por

D u f x , y = ∇ f ⋅ u →

No nosso caso, a direção é dada pelo ângulo θ = π / 3 , ou seja, um vetor que unitário que dá a direção de θ é

u → = cos ⁡ θ   x ^ + sen ⁡ θ   y ^

Portanto, a derivada direcional será:

D u f x ,   y = f x x ,   y cos ⁡ θ + f y x ,   y   s e n   θ

Nosso trabalho agora é encontrar as derivadas de f com relação a x   e a y .

Passo 2

Já que falamos em derivadas, vamos encontrar nossas derivadas de uma vez logo, saca só:

f x = ∂ ∂ x ( x y 3 - x ² )

f x = y 3 - 2 x

Além disso,

f y = ∂ ∂ y x y 3 - x 2

f y = 3 x y ²

O ponto que nos foi dado é ( 1 ,   2 ) , então:

f x 1 ,   2 = 2 3 - 2 ⋅ 1 = 6

f y 1 ,   2 = 3 ⋅ 1 ⋅ 2 2 = 12

Passo 3

Agora que já encontramos a derivada no ponto, vamos aplicar na fórmula da derivada direcional que escrevemos no passo 1, se liga:

D u f 1 ,   2 = 6 ⋅ cos ⁡ π 3 + 12 ⋅ s e n   π 3

D u f 1 ,   2 = 6 ⋅ 1 2 + 12 ⋅ 3 2

∴ D u f 1 ,   2 = 3 + 6 3

Resposta

D u f 1 ,   2 = 3 + 6 3

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