Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.5 - Ex. 42
Para quais valores da constante a função é contínua em ?
Passo 1
Olá, amigo. Vamos dar início a mais uma resolução. Temos aqui uma atividade que nos pergunta para quais valores de , sendo ela uma constante, a função denotada por duas equações, é continua para todos os números reais.
Para resolvermos essa atividade devemos prestar atenção nas condições para continuidade das funções,
Uma função é continua em um número se
Devo prestar atenção também a alguns teoremas que dizem quais tipos de funções são contínuas em todo o seu domínio, como as funções polinomiais, e no nosso caso, deveremos ter mais atenção ao ponto de junção das duas equações que compõem nossas funções polinomiais, pois por serem ambos polinômios, é o único ponto que pode nos dar problema aqui.
Então deveremos calcular os limites laterais, assim como também deveremos calcular o valor da função no ponto , e tanto os limites laterais, quanto o valor da função deve ser igual.
Passo 2
Para ser contínua no ponto , temos que:
exista, isso quer dizer que
E ainda que .
Usaremos a primeira condição para calcular :
Lembre-se que para , temos , então usaremos essa expressão no cálculo do limite à direita de :
Da mesma forma, pensaremos para , mas temos outra expressão, que é , usaremos essa expressão no limite à esquerda de 4:
Não esqueça o que deve ocorrer para essa função ser contínua. Lembra?
Os limites laterais têm de ser iguais:
Igualando-os:
Passo 3
Agora também precisamos conferir se:
O limite, encontramos substituindo em qualquer uma das duas equações:
Para
Então:
Isso significa que para todos os valores reais teremos que a proposição:
É verdadeira, desde que: