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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 12

7-16. Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f nos intervalos fechados dados e indique onde ocorrem esses valores.

12. f x = x 2 + x 2 3 ; - 2 ,   3

Passo 1

Então galerinha, caso não se lembrem, para determinarmos os valores máximos e mínimos absolutos de f em um intervalo fechado basta seguirmos os passos abaixo:

1. Encontrarmos os pontos críticos de f ;

2. Encontrarmos o valor de f em todos os pontos críticos encontrados e nas extremidades do intervalo;

3. Comparararmos quem possui maior valor e quem possui menor valor.

A função que nos foi dada é essa:

  f x = x 2 + x 2 3

E o intervalo associado é: - 2 ,   3 . Show! Agora bora pra cima!

Passo 2

Derivando nossa função e depois igualando o resultado a 0 para determinarmos os pontos críticos de f :

f ' x = 2 3 x 2 + x - 1 3 . 2 x + 1

f ' x = 4 x + 2 3 x 2 + x 1 3

4 x + 2 3 x 2 + x 1 3 = 0 ⇒ 4 x + 2 = 0

Disso tiramos que:

x = - 1 2

Além disso, temos que encontrar os valores no qual f ' x não existe. Esses valores são os que fazem nosso denominador resultar em 0 , ou seja:

x = - 1

x = 0

Então nossos pontos críticos são x = - 1 2 , x = - 1 e x = 0 .

Passo 3

Agora temos que substituir na nossa função os pontos críticos e os pontos extremos, saca só:

f - 1 2 = 1 4 2 3

f - 1 = 0

f 0 = 0

f - 2 = 2 2 3

f 3 = 12 2 3

Por fim, comparando os resultados podemos concluir que:

x ,   y ⇒ 3 ,   12 2 3 → P o n t o   d e   m á x i m o   a b s o l u t o

x ,   y ⇒ - 1 ,   0   e   0 ,   0 → P o n t o s   d e   m í n i m o   r e l a t i v o

E está aí nossa resolução!

Resposta

x ,   y ⇒ 3 ,   12 2 3 → P o n t o   d e   m á x i m o   a b s o l u t o

x ,   y ⇒ - 1 ,   0   e   0 ,   0 → P o n t o s   d e   m í n i m o   r e l a t i v o

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