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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 24

Seja R a região limitada pelo semicrículo y = r 2 - x 2 e o eixo x. Use o teorema de Pappus para encontrar o momento de R em relação à reta y = - r .

Passo 1

Seja R a região limitada por y = r 2 - x 2 e o eixo x . A área do semicírculo é A = 1 2 π r ² . Se R é girado ao redor do eixo x , uma esfera é gerada com o volume V = 4 3 π r ³ . Substituindo no teorema de Pappus:

V = 2 π y - A V = 4 3 π r 3 = 2 π y - 1 2 π r 2 y - = 4 r 3 π

Passo 2

Seja r - a distância entre a linha y = - r e o centróide de R. Então:

r - = r + y - = r + 4 r 3 π

O momento de R em relação a linha y = - r é:

M = A r - = 1 2 π r 2 r + 4 r 3 π M = 1 2 π + 2 3 r ³

Resposta

O momento de R em relação a y = - r é:

M = 1 2 π + 2 3 r ³

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