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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.Revisão - Ex. 91

91)

(a) Prove que se lim h → 0 ⁡ f x + h = f x ,   então lim h → 0 ⁡ f x + h = lim h → 0 ⁡ f x - h

(b) Mostre que o inverso do teorema (2) não é verdadeiro, dando exemplo de uma função para a qual lim h → 0 ⁡ f x + h = lim h → 0 ⁡ f x - h , mas lim h → 0 ⁡ f x + h ≠ f x .

Passo 1

Na letra (a) precisamos provar que se lim h → 0 ⁡ f x + h = f x ,   então lim h → 0 ⁡ f x + h = lim h → 0 ⁡ f x - h

Tomando h   = - k , então:

se lim h → 0 ⁡ f x - k = f x ,   mas - k → 0 e é equivalente a k → 0 .

Então:

lim h → 0 ⁡ f x + h = lim h → 0 ⁡ f x - h

Passo 2

Na letra (b) podemos tomar como exemplo a função:

f x = 1 ,   s e   x ≠ 0 0 ,   s e   x = 0

Então

lim h → 0 ⁡ f 0 + h = lim h → 0 ⁡ 1 = 1 ;

lim h → 0 ⁡ f 0 - h = lim h → 0 ⁡ 1 = 1 ;

Mas f 0 = 0 .

Portanto

lim h → 0 ⁡ f 0 + h ≠ f 0 .

Resposta

  1. lim h → 0 ⁡ f x + h = lim h → 0 ⁡ f x - h
  2. lim h → 0 ⁡ f x + h = lim h → 0 ⁡ f x - h , mas lim h → 0 ⁡ f x + h ≠ f x .
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