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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.16 - Ex. 21

Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.

21.

f (s) = (1)/(2) (a + b s)^(ln ( a + b s ))

Passo 1

Queremos encontrar a derivada da função f ( s ) dada. Para derivar a função f ( s ) podemos usar o método da derivada logarítmica. Onde a f ( s ) pode ser escrita como y = (g (s))^(h ( s )) . Escrevendo a função f ( s ) da maneira descrita acima:

y = (1)/(2) (a + b s)^(ln ( a + b s ))

Podemos ajustar a função da seguinte forma:

2 y = (a + b s)^(ln ( a + b s ))

Agora aplicamos o logaritmo neperiano dos dois lados.

ln 2 y = ln ( a + b s ) ln ( a + b s )

ln 2 y = (ln (a + b s))^2

Agora podemos usar a regra da cadeia para derivar. Também devemos saber que y é uma função de s , logo a derivada dele é uma derivada implícita.

(1)/(2 y) xx 2 y^' = 2 (ln (a + b s)) xx (1)/(a + b s) xx b

(y^')/(y) = (2 b ln (a + b s))/(a + b s)

y^' = y xx (2 b ln (a + b s))/(a + b s)

Temos que y = (1)/(2) (a + b s)^(ln ( a + b s )) , assim substituímos na expressão acima.

y^' = (1)/(2) (a + b s)^(ln ( a + b s )) xx (2 b ln (a + b s))/(a + b s)

y^' = (b (a + b s)^(ln ( a + b s )) ln (a + b s))/(a + b s)

Temos então que a derivada de f (s) é:

f^(' (s)) = (b (a + b s)^(ln ( a + b s )) ln (a + b s))/(a + b s)

Resposta

f^(' (s)) = (b (a + b s)^(ln ( a + b s )) ln (a + b s))/(a + b s)

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