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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 1

Ache d y d x .

x = t 1 + t  

y = 1 + t

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a derivada d y d x das seguintes equações paramétricas:

x = t 1 + t  

y = 1 + t

Para resolver isso, vamos utilizar a regra da cadeia, que é dada por:

d y d x = d y d t ∙ d t d x

Ou podemos escrever como (perdão, matemáticos kkkk... mas assim fica mais fácil de compreender):

d y d x = d y d t d x d t

Assim, substituindo as equações dadas, temos que resolver a seguinte expressão:

d y d x = d d t 1 + t d d t t 1 + t  

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Derivando primeiro o numerador e aplicando a regra da cadeia, temos:

d d t 1 + t = 1 2 1 + t ∙ d d t 1 + t ∴

d d t 1 + t = 1 2 1 + t ∙ 1 ∴

d d t 1 + t = 1 2 1 + t

Passo 3

Agora, derivando o denominador:

d d t t 1 + t  

Da derivada do quociente, sabemos que:

d d x   f g = f ' g - f g ' g 2

Show? Vamos cair dentro então:

d d t t 1 + t   = 1 + t t ' - t 1 + t ' 1 + t 2 ∴

d d t t 1 + t   = 1 + t - t 1 + t 2 ∴

d d t t 1 + t   = 1 1 + t 2

Passo 4

Juntando os dois resultados, obtemos:

d y d x = 1 2 1 + t 1 1 + t 2

d y d x = 1 + t 2 2 1 + t  

d y d x = 1 2   1 + t 3 / 2

Essa pode parecer uma técnica nova mas te garanto que não precisa de nenhum novo conhecimento para resolver essas questoes, conforme você for testando com mais funções, mais vai pegando o jeito.

Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução 😉

Resposta

d y d x = 1 2   1 + t 3 / 2

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