Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.9 - Ex. 16

Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes

16. r = 1 - 2 s e n θ

Passo 1

Como o enunciado nos fala sobre retas tangentes, precisaremos aplicar a seguinte equação, para obtermos as inclinações delas:

t g α = t g θ d r d θ + r d r d θ - r t g θ

Primeiro vamos encontrar   d r d θ :

d r d θ = - 2 c o s θ

Substituindo o resultado e a equação de r na equação da inclinação:

t g α = - 2 t g θ c o s θ + 1 - 2 s e n θ - 2 c o s θ - 1 - 2 s e n θ t g θ

Passo 2

As retas horizontais podem ser obtidas igualando-se o numerador da equação acima a zero, pois assim a inclinação será zero e a reta será horizontal:

- 2 t g θ c o s θ + 1 - 2 s e n θ = 0

Reescrevendo

- 2 s e n θ c o s θ c o s θ + 1 - 2 s e n θ = 0

- 4 s e n θ = - 1

s e n θ = 1 4 → θ ≅ 0,25   e   θ ≅ 2,89

r então será:

r = 1 - 2   .   1 4 = 1 2

E as coordenadas cartesianas para θ ≅ 0,25 serão:

x = r c o s θ = 1 2 cos ⁡ 0,25 ≅ 0 , 48

y = r s e n θ = 1 2 . 1 4 = 1 8

E para θ ≅ 2,89 :

x = r c o s θ = 1 2 cos ⁡ 2,89 = - 0,48

y = r s e n θ = 1 8

Passo 3

Para as retas verticais, precisamos igualar o denominador a zero, para que a inclinação tenda para infinito:

- 2 c o s θ - 1 - 2 s e n θ t g θ = 0

Reescrevendo:

- 2 c o s θ - 1 - 2 s e n θ s e n θ c o s θ = 0

- 2 c o s 2 θ - 2 s e n θ + 2 s e n 2 θ = 0

Pela relação trigonométrica:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

Vamos substituir o cosseno na equação:

- 2 1 - s e n 2 θ - 2 s e n θ + 2 s e n 2 θ = 0

4 s e n 2 θ - 2 s e n θ - 2 = 0

s e n 2 θ - s e n θ 2 - 1 2 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

s e n θ = 1 4 ± 1 4 + 8 4 2 = 1 2 ± 3 2 2

O resultado com valor positivo não corresponde a uma reta vertical, por isso usaremos apenas o positivo:

s e n θ = - 1 2 → θ ≅ - π 6   e   θ ≅ - 5 π 6

Calculando o valor de r:

r = 1 - 2 . - 1 2 = 2

E as coordenadas cartesianas para   θ ≅ - π 6   :

x = r c o s θ = 2 c o s - π 6 = 3

y = r s e n θ = 2 s e n - π 6 = - 1

E para θ ≅ - 5 π 6 :

x = r c o s θ = 2 c o s - 5 π 6 = - 3

y = r s e n θ = 2 s e n - 5 π 6 = - 1

Passo 4

O esboço do gráfico então será:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = ln ⁡ θ , θ = e
Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical. r = cos ⁡ θ + s e nθ
Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical. r = cos ⁡ 2 θ
Encontre a área delimitada pelo eixo x e a curva x = t 3 + 1 ,y = 2 t - t 2 .
Trace a curva x = - 2 cos ⁡ t ,y = s e nt + s e n2 t para descobrir onde a curva intercepta ela mesma. Depois, encontre as equações de ambas as tangentes nesse ponto.