Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 54
Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos de sangue: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois alelos diferentes é
onde , e são as proporções de A, B e O na população. Use o fato de que para mostrar que é no máximo .
Passo 1
Pessoal, podemos substituir na função para obter uma função de somente duas variáveis:
Passo 2
Show! Agora precisamos maximizar a função . Vamos determinar as derivadas parciais:
Para termos e simultaneamente:
Passo 3
A partir das duas equações encontradas anteriormente, temos:
Agora substituímos esse valor de na expressão de :
Passo 4
Show! Encontramos então um único ponto crítico, vamos calcular nesse ponto:
Agora, lembre-se que temos que comparar esse valor com os valores de nas fronteiras, que são, neste caso:
Coincidentemente, para nossa alegria, todas as três fronteiras nos deram as mesmas parábolas cujo valor máximo é:
Então, realmente, o ponto crítico nos deu o maior valor de , então provamos que é no máximo .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)