Três alelos (versões alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro tipos de sangue: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. A Lei de Hardy-Weinberg afirma que a proporção de indivíduos em uma população que carregam dois alelos diferentes é

onde , e são as proporções de A, B e O na população. Use o fato de que para mostrar que é no máximo .

Show! Agora precisamos maximizar a função . Vamos determinar as derivadas parciais:

Para termos e simultaneamente:

A partir das duas equações encontradas anteriormente, temos:

Agora substituímos esse valor de na expressão de :

Show! Encontramos então um único ponto crítico, vamos calcular nesse ponto:

Agora, lembre-se que temos que comparar esse valor com os valores de nas fronteiras, que são, neste caso:

Coincidentemente, para nossa alegria, todas as três fronteiras nos deram as mesmas parábolas cujo valor máximo é:

Então, realmente, o ponto crítico nos deu o maior valor de , então provamos que é no máximo .