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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 18

Encontre o comprimento exato da curva.

y = 1 - e^(- x) , 0 <= x <= 2

Passo 1

O comprimento da curva é dado por:

L = int_a^b sqrt(1 + f^' (x)^2) d x

Vamos derivar a função então...

y^' = - e^(- x) ( - x )

y^' = e^(- x)

Aplicamos na fórmula agora:

Passo 2

L = int_0^2 sqrt(1 - (e^(- x))^2) d x

L = int_0^2 sqrt(1 - e^(- 2 x)) d x

Fazendo u = - 2 x ...

L = - (1)/(2) int sqrt(1 - e^u) d u

Fazendo v = 1 - e^u ...

L = - (1)/(2) int (sqrt(v))/(v - 1) d v

Fazendo w = sqrt(v) ...

2 (- (1)/(2)) int (w^2)/(w^2 - 1) d w

Integrando em w ...

- ((ln (w + 1))/(2) + w + (ln (w - 1))/(2))

Passo 3

Agora a gente volta para a variável x ...

= 2 sqrt(v) - ln (sqrt(v) + 1) + ln sqrt(x) - 1

= - ln (sqrt(1 - e^u) + 1) + ln ( sqrt(1 - e^u) - 1 ) + 2 √ ( 1 - e^u )

(- (ln ( sqrt(1 - e^(- 2 x)) - 1 ))/(2) + (ln ( sqrt(1 - e^(- 2 x)) + 1 ))/(2) - sqrt(1 - e^(- 2 x))) (2)/(0)

(Respira...)

Passo 4

Vamos aplicar os limites de integração agora...

(- ln ( sqrt(1 - e^(- 4)) - 1 ))/(2) + (ln ( sqrt(1 - e^(- 4)) + 1 ))/(2) - sqrt(1 - e^(- 4))

(A outra parte zera)...

Agora acabou!!

Resposta

(- ln ( sqrt(1 - e^(- 4)) - 1 ))/(2) + (ln ( sqrt(1 - e^(- 4)) + 1 ))/(2) - sqrt(1 - e^(- 4))

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