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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 40

Calcule as integrais.

Passo 1

Temos que resolver essa integral com potências de tangente e secante, vamos criar uma estratégia pra melhorar nossas contas... Vamos abrir a potência de menor grau para usar a identidade sec^2 x = 1 + t g^2 x

int t g^3 x sec^3 x d x = int (sec^2 x - 1) sec^2 x * s e c x * t g x d x = int sec^4 x * s e c x * t g x d x - int sec^2 x * s e c x * t g x d x

Passo 2

Agora é só usar substituição para resolver as integrais, vamos lá...

  • int sec^4 x * s e c x * t g x d x

    • u = s e c x ⟹ d u = s e c x * t g x

    Daí,

    int sec^4 x * s e c x * t g x d x = int u^4 d u = (sec^5 x)/(5)

  • int sec^2 x * s e c x * t g x d x

u = s e c x ⟹ d u = s e c x * t g x

Daí,

int sec^2 x * s e c x * t g x d x = int u^2 d u = (sec^3 u)/(3)

Passo 3

Substituindo na primeira igualdade,

int t g^3 x sec^3 x d x = int sec^4 x * s e c x * t g x d x - int sec^2 x * s e c x * t g x d x = (sec^5 x)/(5) - (sec^3 x)/(3) + C

Resposta

int t g^3 x sec^3 x d x = (sec^5 x)/(5) - (sec^3 x)/(3) + C

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