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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 38

Calcule as integrais.

Passo 1

Se ligue temos uma integral de potências de seno e cosseno, então vamos ter que usar as regras de impar e par e etc.

Nesse caso, temos que a potência do seno é impar, enquanto do cosseno é par, então, vamos escrever a potência impar como para usar a identidade cos^2 x + s e n^2 x = 1 .

Vamos lá,

int cos^5 x s e n^5 x d x = int s e n^5 x (1 - s e n^2 x)^2 c o s x d x

= int s e n^5 x c o s x d x - 2 int s e n^7 x cos x d x + int s e n^9 x c o s x d x

Passo 2

Agora que facilitamos nossas contas, vamos resolver cada uma das integrais, separadamente, blz?

Vamos resolver a primeira integral, ou seja, int s e n^5 x c o s x d x .

Perceba que basta fazer uma substituição...em geral esse método é usado para recair numa.

Então é só chamar u = s e n x ⟹ d u = c o s x d x .

int s e n^5 x c o s x d x = int u^5 d u = (u^6)/(6) = (s e n^6 x)/(6)

Resolvendo a outra integral, ( int s e n^7 x cos x d x )

Tomando, mais uma vez u = s e n x ⟹ d u = c o s x d x

Daí,

int s e n^7 x cos x d x = int s e n^7 d u = (s e n^8 x)/(8)

E, por fim

int s e n^9 x c o s x d x = int u^9 d u = (s e n^(10) x)/(10)

Com u = s e n x ⟹ d u = c o s x d x .

Passo 3

Substituindo na integral inicial,

int cos^5 x s e n^5 x d x = int s e n^5 x c o s x d x - 2 int s e n^7 x cos x d x + int s e n^9 x c o s x d x

= (s e n^6 x)/(6) - 2 (s e n^8 x)/(8) + (s e n^(10) x)/(10) + C

Resposta

int cos^5 x s e n^5 x d x = (s e n^6 x)/(6) - (s e n^8 x)/(4) + (s e n^(10) x)/(10) + C

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