Enunciado

Nos Exercícios de 34 a 43, calcule a integral indefinida:

40 ) ∫ s e c h ³   x . t g h   x .   d x

Passo 1

Temos aqui uma integral bem complicada, mas podemos resolvê-la facilmente usando alguns artifícios matemáticos.

Se analisarmos esta integral, vemos uma função sendo multiplicada pela sua derivada, então podemos chamar:

u = sech ⁡ x

Derivando dos dois lados:

d u = s e c h   x . t g h   x . d x

Então nós transformamos uma integral trigonométrica em algo bem simples:

∫ s e c h ³   x . t g h   x .   d x = ∫ s e c h ² x . s e c h   x . t g h   x .   d x = ∫ u ² . d u

E agora calculamos pela regra da potência:

∫ u ² . d u = u 3 3 + C

Achamos a resposta em função do u, mas nós queremos em função de x. Se substituirmos novamente:

u 3 3 = sech ³ ⁡ x 3  

Resposta

∫ s e c h ³   x . t g h   x .   d x = sech ³ ⁡ x 3 + C

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