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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 41

Calcule as integrais.

Passo 1

Geralmente aparecem questões com potências de seno e cosseno, mas agora, temos que o argumento do seno e do cosseno não é o que estamos acostumados a encontrar.

Como estamos como o produto de senos e cossenos, a ideia é tentar tornar esse produto numa soma, usando aquelas regras : s e n (a + b) = s e n a c o s b + s e n b cos a e cos (a + b) = c o s a cos b - s e n a s e n b .

Vamos lá,

Se ligue que

s e n (6 theta + 5 theta) = s e n (11 theta) = s e n (5 theta) cos (6 theta) + s e n (6 theta) cos (5 theta)

E,

s e n (- theta) = s e n (5 theta - 6 theta) = s e n (5 theta) cos (- 6 theta) + s e n (- 6 theta) cos (5 theta)

= s e n (5 theta) cos (6 theta) - s e n (6 theta) c o s ( 5 theta )

Somando os dois,

s e n (11 theta) + s e n (- theta) = 2 s e n (5 theta) cos (6 theta)

Então,

s e n (5 theta) cos (6 theta) = (1)/(2) ( s e n (11 theta) + s e n (- theta) )

Passo 2

Substituindo na integral,

int s e n (5 theta) cos (6 theta) d theta = (1)/(2) int ( s e n (- theta) + (s e n (11 theta)) ) d theta

Passo 3

Agora é só resolver a integral,

(1)/(2) int ( s e n (- theta) + (s e n (11 theta)) ) d theta = (1)/(2) int s e n (- theta) d theta + (1)/(2) int s e n (11 theta) d theta = (1)/(2) cos (- theta) - (1)/(22) cos (11 theta) + C

Como o cosseno é uma função par, ou seja, cos (- theta) = cos ( theta )

(1)/(2) int ( s e n (- theta) + (s e n (11 theta)) ) d theta = (1)/(2) c o s theta - (1)/(22) cos (11 theta) + C

Resposta

int s e n (5 theta) cos (6 theta) d theta = (1)/(2) c o s theta - (1)/(22) cos (11 theta) + C

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