24. Ache a área da região varrida pelo raio vetor da espiral r = a θ durante sua segunda revolução, que não foi varrida em sua primeira revolução.

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 - g θ 2 d θ =

= 1 2 . ∫ 0 2 π a θ + 2 π 2 - a θ 2 d θ = 1 2 a 2 ∫ 0 2 π 4 π θ + 4 π 2 d θ = 8 π 3 a 2

Resposta

A = 8 π 3 a 2

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