Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 52

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de ;

Os pontos de inflexão do gráfico de ;

Os intervalos em que é crescente

Os intervalos em que é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

Passo 1

Vamos para as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

Passo 2

Agora vamos aos limites. Primeiro:

Vai ficar:

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

Passo 3

O outro vai ser:

Vai ficar:

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

Passo 4

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes e de que é a equação da assíntota obliqua.

Para isso, devemos fazer

Se esse valor existir, aí fazemos

Mesma coisa para o

Se esse valor existir, aí fazemos

Passo 5

Para acharmos a derivada, vamos usar a regra do quociente:

Agora vamos aos limites. Primeiro:

Vai ficar:

Aqui temos um detalhe importante.

A equação da assíntota oblíquoa é

Se o for igual a zero, teríamos

Mas isso seria a nossa assíntota horizontal, esse é um pequeno detalhe que rola poucas vezes.

Quando o e não tinha assíntota horizontal, também não teremos a oblíquoa.

Passo 6

O outro vai ser:

Vai ficar:

E encontramos o mesmo problema de antes.

Passo 7

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Aqui, temos uma potencia racional, que é uma fração na potência. Nesses casos não teremos assíntotas verticais.

Passo 8

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .

O sinal depende só de , porque o expoente é ímpar. Então:

A função é crescente se e decrescente se , então:

Passo 9

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Passo 10

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Vamos pegar

Porque fica mais fácil de derivadar do que na forma de fração

Vamos ter um expoente no denominador, isso quer dizer que ele vai ser sempre positivo. Como a fração toda está sendo multiplicada por , vamos ter que a segunda derivada é sempre negativa.