Obtenha os gráficos de que revelem todos os aspectos importantes da curva. Estime os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concaviade e pontos de inflexão, e use o cálculo para achar essas quantidades exatamente.

Agora vamos procurar valores extremos. A função tem máximos em:

E tem mínimos em:

As concavidades podem ser um pouco mais difíceis de enxergar, então vamos marcar no desenho:

Os trechos em azul representam convavidades para baixo:

E os trechos em verde representam concavidades para cima:

E os pontos de inflexão estão justamente nos limites desses intervalos:

Beleza, agora vamos procurar esses mesmos elementos de forma exata, usando cálculo.

Para encontrar os intervalos de crescimento, precisamos da derivada primeira da função:

Enquanto essa derivada for positiva, a função é crescente. Enquanto ela for negativa, a função é decrescente. Vamos encontrar cada um desses intervalos, começando pela parte crescente da função:

E já que estamos limitados em

E a parte decrescente é o intervalo restante:

Para encontrar os valores extremos, usamos o teste da primeira derivada:

No nosso caso:

E essa função é satisfeita por quatro pontos. Os pontos de máximo estão em:

E os pontos de mínimo estão em:

Se não tivéssemos o gráfico, como faríamos para saber quais desses pontos extremos são de mínimo e de máximo?

Teríamos que olhar para as concavidades, vamos fazer isso agora.

Para determinar as concavidades, precisamos da derivada segunda da função:

Quando essa função é positiva, a curvatura é para cima, isso acontece em:

Nesse intervalo, todos os pontos extremos são de mínimo.

Quando essa função é negativa, a curvatura é para baixo, isso acontece em:

Nesse intervalo, todos os pontos extremos são de máximo.

Os pontos de inflexão acontece quando a função passa de um intervalo positivo para um negativo, então os pontos de inflexão estão em: