Nos exercícios de 25 a 28, ache o valor exato da integral definida usando a definição; não utilize o teorema fundamental do cálculo.

Passo 1

Vejamos que a definição de integral é:

∫ f x d x = lim Δ x → 0 ⁡ ∑ i = 0 n f x i * Δ x

Onde Δ x = b - a n   e   x i * = lim Δ x → 0 ⁡ i * Δ x + a

Assim, teremos que:

∫ 0 2 3 x 2 - 1 d x = lim n → 0 ⁡ ∑ i = 0 n 3 x i * 2 - 1 2 n   = ∑ i = 0 n 3 x i * 2 2 n   - ∑ i = 0 n 1 2 n  

Passo 2

Vejamos que x i * = lim Δ x → 0 ⁡ i * Δ x + a → x i * 2 = lim Δ x → 0 ⁡ i * Δ x + a 2 = lim Δ x → 0 ⁡ i 2 * Δ x 2 + 2 a Δ x + a 2

Passo 3

Como a=0, temos que:

∑ i = 0 n 3 x i * 2 2 n   - ∑ i = 0 n 1 2 n   = ∑ i = 0 n 4 i 2 n 2 6 n   - ∑ i = 0 n 1 2 n   = 4 2 n + 1 n + 1 n n 3 - 2 →

lim n → 0 ⁡ ∑ i = 0 n 3 x i * 2 - 1 2 n   = lim n → 0 ⁡ ∑ i = 0 n 4 2 n + 1 n + 1 n n 3 - 2 = 8 - 2 = 6

Resposta

∫ 0 2 3 x 2 - 1 d x = 6

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