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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 33

Nos exercícios de 29 a 38, calcule a integral definida, usando o segundo teorema fundamental do cálculo.

Passo 1

Vejamos que, para calcular a integral ∫ 0 π 6 s e n 2 θ cos 2 ⁡ 2 θ d θ   , temos que, usando t g α = s e n   α cos ⁡ α e s e c α = 1 cos ⁡ α

∫ 0 π 6 s e n 2 θ cos 2 ⁡ 2 θ d θ   = ∫ 0 π 6 t g   2 θ sec ⁡ 2 θ d θ  

Passo 2

Substituindo 2 θ = β ,   teremos que:

∫ 0 π 6 t g   2 θ sec ⁡ 2 θ d θ = ∫ 0 π 3 t g   β sec ⁡ β 2 d β = 2 ∫ 0 π 3 t g   β sec ⁡ β d β

Passo 3

Calculando a integral, teremos que:

2 ∫ 0 π 3 t g   β sec ⁡ β d β = 2 sec ⁡ β π 3 0 = 2 2 - 1 = 2

Resposta

∫ 0 π 6 s e n 2 θ cos 2 ⁡ 2 θ d θ = 2

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