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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 12

underset(z -> 0)(lim) (1 - cos 2 z)/(4 z)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de (1 - cos 2 z) .

underset(z -> 0)(lim) (1 - cos 2 z)/(4 z) * ((1 + cos 2 z)/(1 + cos 2 z))

underset(z -> 0)(lim) ((1^2 - cos^2 2 z)/(4 z ( 1 + cos 2 z )))

Passo 2

Agora apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin^2 theta + cos^2 theta = 1

sin^2 2 z + cos^2 2 z = 1

sin^2 2 z = 1 - cos^2 2 z

underset(z -> 0)(lim) ((sin^2 2 z)/(4 z ( 1 + cos 2 z )))

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade da multiplicação de limites.

(underset(z -> 0)(lim) (sin 2 z)/(4 z)) * (underset(z -> 0)(lim) (sin 2 z)/(( 1 + cos 2 z )))

Passo 4

Agora vamos manipular o 4z e substituir 2z por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

(1)/(2) * (underset(z -> 0)(lim) (sin 2 z)/(2 z)) * (underset(z -> 0)(lim) (sin 2 z)/(( 1 + cos 2 z )))

2 z = u

z -> 0 => u -> 0

(1)/(2) (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)) * (underset(z -> 0)(lim) (sin 2 z)/(( 1 + cos 2 z )))

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u) = 1 .

(1)/(2) (1) * (underset(z -> 0)(lim) (sin (2 * 0))/(( 1 + cos (2 * 0) )))

(1)/(2) (1) * ((0)/(( 1 + 1 )))

(1)/(2) * 0

0

Resposta

underset(z -> 0)(lim) (1 - cos 2 z)/(4 z) = 0

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