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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 9

Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (9) A parábola y = x ² e a reta y = 4 .

Passo 1

O primeiro passo é encontrarmos os pontos de intersecção entre y = x ² e a reta y = 4 . Assim:

x 2 = 4 x = ± 2

Passo 2

Vamos calcular a área da região delimitada elas duas funções.

A = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n [ g γ i - f γ i ∆ i x = ∫ - 2 2 4 - x ² d x = 4 x - x 3 3 - 2 2 A = 4 * 2 - 2 3 3 - 2 * - 2 + - 2 3 3 A = 32 3

Passo 3

Calculando agora o valor de m x .

m x = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 1 2 ( 4 + m i 2 ) ( 4 - m i 2 ) ∆ i x = 1 2 ∫ 0 2 16 - x 4 d x m x = 1 2 16 x - x 5 5 - 2 2 = 1 2 16 * 2 - 2 5 5 - 16 * - 2 + - 2 5 5 m x = 128 5

Passo 4

Vamos agora encontrar agora os pontos do centróide.

y - = 1 A m x = 3 32 * 1 28 5 y - = 12 5

Como o eixo de simetria da região é o eixo y , x - = 0 .

Resposta

O centróide está localizado no ponto 0 , 12 5 .

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