Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 4
Mostre que:
- Dentre as cordas perpendiculares à reta focal, é a de maior comprimento, 2b;
- A amplitude focal da elipse é .
Passo 1
Vamos lá! Estamos trabalhando aqui com uma elipse. Vamos começar provando o comprimento da maior corda perpendicular à reta focal.
Para facilitarmos a nossa vida, vamos assumir que a elipse está centrada na origem e com focos no eixo (isto não impacta na nossa análise em problema nenhum).
Portanto, a nossa elipse possui a seguinte equação:
E focos nos pontos , onde .
Um ponto pertence a reta focal se e somente se ele tem coordenadas , sendo . Vamos agora descobrir as coordenadas de um ponto que possui a mesma coordenada deste ponto , só que pertence a elipse (satisfaz a sua equação). Portanto,
Passo 2
Assim conseguimos dois pontos: e .
A distância entre estes dois pontos será o comprimento da corda, o que será função de . Portanto,
Temos que maximizar esta função , e a única forma é fazendo . Se fizermos isto, teremos:
E os pontos e ! Portanto, o maior comprimento da corda perpendicular à reta focal é , o que corresponde ao comprimento do eixo menor!
Passo 3
Agora, vamos determinar a amplitude focal de uma elipse. Mas como proceder em relação a isso?
Antes de tudo. O que é a amplitude focal???
Bom, amplitude focal nada mais é do que uma corda da elipse (toca em dois pontos) e que é perpendicular ao segmento focal passando pelos focos.
Portanto, nosso trabalho é identificar quais são as coordenadas destes pontos que pertencem a elipse e são perpendiculares ao segmento focal e depois calcularmos a distância entre dois pontos!
E bom, podemos fazer isto de uma forma bem simples. Vamos analisar para os pontos e , que possuem a mesma coordenada de algum dos focos. Iremos escolher o foco .
Percebam que tanto faz trabalhar com o foco , a resposta é exatamente a mesma.
Portanto, temos e , sendo . Nosso trabalho agora é descobrir quem é este que satisfaça a equação da elipse, visto que assumimos que o ponto e pertencem a elipse!
Passo 4
Vamos descobrir agora quem é este das coordenadas de Então, basta substituirmos as coordenadas de na equação da elipse! Portanto,
Só que , pela definição da elipse. Portanto,
Assumimos apenas o valor positivo, pois assumimos antes que . Portanto, temos os seguintes pontos:
OBS: Se tivéssemos analisados os pontos em relação ao foco , a única diferença das coordenadas dos pontos seria a coordenada , que teria o valor . O valor de também seria .
Agora, só nos resta calcularmos a distância dos dois pontos para sabermos o comprimento do segmento focal. Portanto,
E assim provamos a relação da questão!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)