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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 30

Ache o centróide da região limitada acima pela parábola 4 x 2 = 36 - 9 y e abaixo pelo eixo x .

Passo 1

A primeira coisa a se fazer aqui, pessoal, é tentar indentificar que região é essa, no nosso caso, temos uma parábola.

Vamos deixar o y isolado e achar as raízes.

4 x 2 = 36 - 9 y     →         9 y = 36 - 4 x 2     →         y = 4 - 4 x 2 9 = 4 9 9 - x 2

Fazendo y = 0 temos 4 9 9 - x 2 = 0 , então as raízes são x = ± 3 .

O x do vértice é dado por x v = - b 2 a = 0 , então o y v = 4 9 9 - 0 = 4 . Sabemos agora o vértice V =   ( 0,4 ). Vamos agora esboçar a região que está abaixo da parábola e acima do eixo x .

É importante perceber que aqui nós vamos usar integrais em relação a x para achar o centróide e também que o eixo y é o eixo de simetria da região, logo o x do centróide é 0 , pois o centróide pertence ao eixo de simetria da região. Dessa forma só vamos precisar achar M x e a área da região, que é o que precisamos para achar o y do centróide.

Vamos lembrar a fórmula do centróide: Seja R a região limitada pela curva y = f ( x ) o eixo x , pelas retas x = a e x = b . A função f é contínua em [ a , b ] e f x ≥   0     ∀ x ∈ [ a , b ] . Se M x denotar o momento de R em relação ao eixo x e M y denotar o momento de R em relação ao eixo y , então:

M x = 1 2 ∫ a b f x 2 d x               e                   M y = ∫ a b x f ( x ) d x  

E se C = ( x - , y - ) for o centróide da região plana R cuja área é A unidades quadradas e M x e M y forem definidos como acima, temos:

C = M y A , M x A

Pronto! Agora devemos achar M x e A . Sendo f x = 4 9 9 - x 2 .

Passo 2

Vamos começar achando a área da região no intervalo de [ - 3,3 ] (lembre-se dos pontos de interseção do gráfico). Sendo assim, a área será dada pela seguinte integral definida:

A = ∫ - 3 3 4 9 9 - x 2 d x = 4 9 ∫ - 3 3 9 - x 2 d x = 4 9 9 x - x 3 3 - 3 3

= 4 9 9 3 - 3 3 3 - 9 - 3 - - 3 3 3 = 4 9 27 - 9 - - 27 + 9 = 4 9 54 - 18 = 4 ⋅ 36 9

A = 16   u . a

Lembre-se que ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C       n ≠ - 1 .

Passo 3

Agora acharemos o momento da região em relação ao eixo x .

M x = 1 2 ∫ a b f x 2 d x = = 1 2 ∫ - 3 3 4 9 9 - x 2 2 d x =     16 81 ⋅ 2 ∫ - 3 3 ( 81 - 18 x 2 + x 4 ) d x

= 8 81 ∫ - 3 3 ( 81 - 18 x 2 + x 4 ) d x = 8 81 81 x - 18 x 3 3 + x 5 5 - 3 3 = 8 81 81 x - 6 x 3 + x 5 5 - 3 3  

= 8 81 81 3 - 6 ( 3 ) 3 + ( 3 ) 5 5 - 81 ( - 3 ) - 6 ( - 3 ) 3 + ( - 3 ) 5 5

= 8 81 243 - 162 + 243 5 - - 243 + 162 + - 243 5 = 8 81 162 + 486 5 = 8 81 810 + 486 5

= 10368 405 = 128 5

M x = 128 5

Passo 4

Por último vamos substituir tudo na fórmula do centróide:

C = 0 , M x A = 0 , 128 5 16 = 0 , 128 80 = 0 , 8 5

Prontinho, achamos o centróide.

Resposta

C = 0 , 8 5

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Encontrar o comprimento da curva dada. y = 1 4 x 4 + 1 8 x 2 ,1 ≤ x ≤ 2
20. y = x,2 ≤ x≤ 4
18. y = e xd eP 0 0 , 1a t eP 1 2 , e 2
16. y = 1 xd eP 0 1 4 , 4a t eP 1 4 , 1 4
9. y = 1 - ln ⁡ sen ⁡ x , π 6 ≤ x≤π 4