Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 30
Ache o centróide da região limitada acima pela parábola e abaixo pelo eixo
Passo 1
A primeira coisa a se fazer aqui, pessoal, é tentar indentificar que região é essa, no nosso caso, temos uma parábola.
Vamos deixar o isolado e achar as raízes.
Fazendo temos , então as raízes são .
O do vértice é dado por , então o . Sabemos agora o vértice ). Vamos agora esboçar a região que está abaixo da parábola e acima do eixo .
É importante perceber que aqui nós vamos usar integrais em relação a para achar o centróide e também que o eixo é o eixo de simetria da região, logo o do centróide é , pois o centróide pertence ao eixo de simetria da região. Dessa forma só vamos precisar achar e a área da região, que é o que precisamos para achar o do centróide.
Vamos lembrar a fórmula do centróide: Seja a região limitada pela curva o eixo , pelas retas e . A função é contínua em e . Se denotar o momento de em relação ao eixo e denotar o momento de em relação ao eixo , então:
E se for o centróide da região plana cuja área é unidades quadradas e e forem definidos como acima, temos:
Pronto! Agora devemos achar e . Sendo .
Passo 2
Vamos começar achando a área da região no intervalo de (lembre-se dos pontos de interseção do gráfico). Sendo assim, a área será dada pela seguinte integral definida:
Lembre-se que .
Passo 3
Agora acharemos o momento da região em relação ao eixo .
Passo 4
Por último vamos substituir tudo na fórmula do centróide:
Prontinho, achamos o centróide.