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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 5

Encontrar o comprimento da curva dada.

y = (1)/(4) x^4 + (1)/(8 x^2) , 1 <= x <= 2

Passo 1

Bom, pra achar comprimento de curva a gente usa a fórmula:

L = int_a^b sqrt(1 + f^' (x)^2)

Então vamos derivar nossa função primeiro...

y^' = x^3 - (1)/(4 x^3)

Aí a gente pode aplicar na fórmula de uma vez:

L = int_1^2 sqrt(1 + (x^3 - (1)/(4 x^3))^2) d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral agora:

L = int_1^2 sqrt(1 + x^6 - 2 x^3 * (1)/(4 x^3) + (1)/(16 x^6)) d x

L = int_1^2 sqrt(1 + x^6 - 2 x^3 * (1)/(16 x^6)) d x

L = int_1^2 sqrt((8 x^6 + 16 x^(12) + 1)/(16 x^6)) d x

L = int_1^2 (1)/(4 x^3) sqrt((4 x^6 + 1)^2) d x

L = (1)/(4) int_1^2 4 x^3 + x^(- 3) d x

L = (1)/(4) [4 * (x^4)/(4) - (2)/(x^2)]_1^2

L = (1)/(4) [x^4 - (1)/(2 x^2)]_1^2

L = (1)/(4) [2^4 - (1)/(2 * 2^2) - 1^4 + (1)/(2 * 1^2)]

L = (1)/(4) [16 - (2)/(8) - 1 + (1)/(2)]

L = (1)/(4) [(123)/(8)]

L = (123)/(32) u . c

Prontinho! Esse é o comprimento da curva pedida😉

Resposta

L = (123)/(32) u . c

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