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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 16

16. y = (1)/(x) d e P_0 ((1)/(4) , 4) a t e P_1 (4 , (1)/(4))

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y = (1)/(x)

(d y)/(d x) = - (1)/(x^2)

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + ((d x)/(d y))^2 = 1 + (- (1)/(x^2))^2

= 1 + (1)/(x^4)

Passo 3

Agora, usaremos a fórmula do comprimento da curva. Entretanto, temos que observar que estamos integrando em relação a variável x, por isso, pegamos os intervalos de integração em função de x.

(x , y) = ((1)/(4) , 4) -> ( 4 , (1)/(4) )

Assim, temos o intervalo de (1)/(4) a 4 .

s = int_((1)/(4))^4 sqrt(1 + (1)/(x^4)) d x

= int_((1)/(4))^4 sqrt((x^4 + 1)/(x^4)) d x

= int_((1)/(4))^4 (sqrt(x^4 + 1))/(x^2) d x

Resposta

Portanto, a integral que da o comprimento de arco da curva é

int_((1)/(4))^4 (sqrt(x^4 + 1))/(x^2) d x

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