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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 9

9. y = 1 - ln (sen x) , (pi)/(6) <= x <= (pi)/(4)

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y = 1 - ln (sen x)

(d y)/(d x) = - (c o s x)/(s e n x)

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + ((d x)/(d y))^2 = 1 + (- (c o s x)/(s e n x))^2

= 1 + (cos^2 x)/(sen^2 x)

Passo 3

Agora, pela fórmula do comprimento da curva, temos:

s = int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sqrt(1 + (cos^2 x)/(sen^2 x)) d x

= int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) sqrt((sen^2 x + cos^2 x)/(sen^2 x)) d x

Por definição sen^2 x + cos^2 x = 1

= int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) (d x)/(sen x)

= int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) c o s c x d x

No final do livro, temos a Tabela de Integrais, onde conseguimos a resposta para a integral acima.

= (ln | c o s e c x - cotg x ||_((pi)/(6))^((pi)/(4))

= ln |(2)/(sqrt(2)) - 1| - ln |2 - (sqrt(3))/(sqrt(3))|

= ln |(2 - sqrt(2))/(sqrt(2)) * ((sqrt(3))/(2 sqrt(3) - 1))|

= ln |(2 sqrt(3) - sqrt(6))/(2 sqrt(6) - sqrt(2))|

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é  ln |(2 sqrt(3) - sqrt(6))/(2 sqrt(6) - sqrt(2))|

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