9. y = 1 - ln(sen(x)), pi/6 <= x <= pi/4

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

y = 1 - ln ⁡ sen ⁡ x

d y d x = - c o s x s e n x

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + d x d y 2 = 1 + - c o s x s e n x 2

= 1 + cos 2 ⁡ x sen 2 ⁡ x

Passo 3

Agora, pela fórmula do comprimento da curva, temos:

s = ∫ π 6 π 4 1 + cos 2 ⁡ x sen 2 ⁡ x   d x

= ∫ π 6 π 4 sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x sen 2 ⁡ x   d x

Por definição sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

= ∫ π 6 π 4 d x sen ⁡ x      

= ∫ π 6 π 4 c o s c   x   d x    

No final do livro, temos a Tabela de Integrais, onde conseguimos a resposta para a integral acima.

= ln ⁡ | c o s e c   x - cotg ⁡ x | π 6 π 4

= ln ⁡ 2 2 - 1 - ln ⁡ 2 - 3 3    

= ln ⁡ 2 - 2 2 ⋅ 3 2 3 - 1

= ln ⁡ 2 3 - 6 2 6 - 2

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é  ln ⁡ 2 3 - 6 2 6 - 2

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