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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.5 - Ex. 8

Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (8) A parábola x = 2 y - y ² e o eixo y .

Passo 1

O primeiro passo é encontrarmos os pontos de intersecção entre x = 2 y - y ² e o eixo x . O eixo y pode ser representado pela expressão x = 0 , pois só tratamos dos valores que estão nele. Assim:

2 y - y ² = 0 y ( 2 - y ) = 0 y = 0   o u   y = 2

Passo 2

Vamos calcular a área da região delimitada elas duas funções.

A = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f m i ∆ i y = ∫ 0 2 2 y - y 2 d x = y 2 - y 3 3 0 2 A = 2 2 - 2 3 3 A = 4 - 8 3 A = 4 3

Passo 3

Calculando agora o valor de m x .

m y = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 1 n 1 2 f m i 2 ∆ i y = 1 2 ∫ 0 2 2 y - y ² 2 d x = 1 2 ∫ 0 2 4 y 2 - 4 y 3 + y 4 d x m y = 1 2 4 y 3 3 - y 4 + y 5 5 0 2 = 1 2 4 * 2 3 3 - 2 4 + 2 5 5 = 1 2 32 3 - 16 + 32 5 m y = 16 30

Passo 4

Vamos agora encontrar agora os pontos do centróide.

x - = 1 A m y = 3 4 * 16 30 x - = 4 10 = 2 5

Como a reta y = 1 está no eixo de simetria da região, entao y - = 1

Resposta

O centróide está localizado no ponto 2 5 , 1 .

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