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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 45

Ache o centroide da região x = 1 a x = π 2 , limitada pela curva y = c o s x e pelo eixo x.

Passo 1

Precisaremos determinar os valores dos momentos de massa M x , M y e a área A da região para podermos calcular o centroide, as equações então serão:

M x = 1 2 ∫ 1 π 2 c o s 2 x d x

M y = ∫ 1 π 2 x c o s x d x

A = ∫ 1 π 2 c o s x d x

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação da área da região:

A = ∫ 1 π 2 c o s x d x

Integrando o único termo:

s e n x π 2 1

Aplicando os limites:

s e n π 2 - s e n 1 ≅ 0,16

Passo 3

Para resolvermos M x , usaremos a relação:

c o s 2 x = 1 + c o s 2 x 2

E a integral fica:

M x = 1 2 ∫ 1 π 2 1 + c o s 2 x 2 d x

M x = 1 4 ∫ 1 π 2 1 + c o s 2 x   d x

Integrando cada termo:

M x = 1 4 x + 2 s e n 2 x π 2 1

Aplicando os limites:

M x = 1 4 π 2 + 2 s e n 2 π 2 - 1 - 2 s e n 2 ≅ - 0,31

Passo 4

Para calcularmos M y , usaremos o método de integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamaremos u = x e d v = c o s x d x . A integral então fica:

M y = ∫ 1 π 2 x c o s x d x = - x s e n x π 2 1 - ∫ 1 π 2 s e n x d x

Resolvendo a última integral:

M y = - x s e n x π 2 1 + c o s x π 2 1

Aplicando os limites:

M y = - π 2 s e n π 2 - - s e n 1 + c o s π 2 - c o s 1 ≅ - 1,27

Passo 5

E agora jogamos os resultados nas equações das coordenadas do centroide:

x = M y A = - 1,27 0,16 ≅ - 7,94

y = M x A = - 0,31 0,16 ≅ - 1.94

E então o centroide terá aproximadamente as coordenadas (-7,94, -1,94)

Resposta

(-7,94, -1,94)

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