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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 29

Ache o centróide da região limitada pela parábola y = x e pela reta y = x 2 .

Passo 1

A primeira coisa a se fazer aqui, pessoal, é tentar indentificar que região é essa, no nosso caso, temos uma parábola com concavidade para cima e vértice na origem e a função y = x . Em um gráfico, ficamos com o seguinte:

Percebam que a parábola e a reta passam pelos pontos ( 0,0 ) e ( 1,1 ) , logo, esses são os pontos de interseção.

É importante perceber que aqui nós vamos usar integrais em relação a x , para achar o centróide e também que a região é limitada por duas curvas.

Vamos lembrar a fórmula do centróide: Seja R a região limitada pelas curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) , pelas retas x = a e x = b . A função f é contínua em [ a , b ] e f x ≥   g ( x )     ∀ x ∈ [ a , b ] . Se M x denotar o momento de R em relação ao eixo x e M y denotar o momento de R em relação ao eixo y , então:

M x = 1 2 ∫ a b f x + g x [ f x - g ( x ) ] d x               e                   M y = ∫ a b x [ f x - g ( x ) ] d x  

E se C = ( x - , y - ) for o centróide da região plana R cuja área é A unidades quadradas e M x e M y forem definidos como acima, temos:

C = M y A , M x A

Pronto! Agora devemos achar M x ,   M y e A . Sendo f x = x e g x = x 2 . Lembre-se: f é a função maior e g a menor.

Passo 2

Vamos começar achando a área da região no intervalo de [ 0,1 ] (lembre-se dos pontos de interseção do gráfico). Sendo assim, a área será dada pela seguinte integral definida:

A = ∫ 0 1 f ( x ) - g ( x ) d x = ∫ 0 1 x - x 2 d x = ∫ 0 1 x 1 2   - x 2 d x

= x 1 2 + 1 1 2 + 1 - x 3 3 0 1 = 2 x 3 2 3 - x 3 3 0 1 = 2 3 - 1 3 - 0 = 1 3   u . a

A = 1 3   u . a

Lembre-se que ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C       n ≠ - 1 .

Passo 3

Agora acharemos o momento da região em relação ao eixo x .

M x = 1 2 ∫ a b f x + g x [ f x - g ( x ) ] d x = 1 2 ∫ 0 1 x + x 2 [ x - x 2 ] d x

= 1 2 ∫ 0 1 x - x 4 d x = 1 2 x 2 2 - x 5 5 0 1 = 1 2 1 2 - 1 5 - 0 = 5 - 2 20 = 3 20  

M x = 3 20

Passo 4

Agora acharemos o momento da região em relação ao eixo y .

M y = ∫ a b x [ f x - g ( x ) ] d x = ∫ 0 1 x [ x - x 2 ] d x = ∫ 0 1 x ⋅ x 1 2 - x 3 d x

= ∫ 0 1 x 3 2 - x 3 d x = x 3 2 + 1 3 2 + 1 - x 4 4 0 1 = 2 x 5 2 5 - x 4 4 0 1 = 2 5 - 1 4 - 0 = 8 - 5 20 = 3 20

M y = 3 20

Passo 5

Por último vamos substituir tudo na fórmula do centróide:

C = M y A , M x A = 3 20 1 3 , 3 20 1 3 = 9 20 , 9 20

Prontinho, achamos o centróide.

Resposta

C = 9 10 , 9 10

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19. y = x 2 + 2 x - 1,0 ≤ x≤ 1
15. y = x 2, 0 ≤ x≤x
10. y = x 3 ,d eP 0 0,0a t eP 1 ( 4,8 )
17. x 2 - y 2 = 1d eP 0 3 , - 2 2a t eP 1 3,2 2
14. x 2 = y 3d eP 0 0 , 0a t éP 1 ( 8 , 4 ) é .