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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 14

14. x^2 = y^3 d e P_0 (0 , 0) a t é P_1 ( 8 , 4 ) .

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

x^2 = y^3

y = x^((2)/(3))

(d y)/(d x) = (2)/(3) x^(- (1)/(3))

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + ((d x)/(d y))^2 = 1 + ((2)/(3) x^(- (1)/(3)))^2

= 1 + (4)/(9) ( x^(- (2)/(3)) )

Passo 3

Agora, usaremos a fórmula do comprimento da curva. Entretanto, temos que observar que estamos integrando em relação a variável x, por isso, pegamos os intervalos de integração em função de x.

(x , y) = (0 , 0) -> ( 8 , 4 )

Assim, temos o intervalo de 0 a 8 .

s = int_0^8 sqrt(1 + (4)/(9) ( x^(- (2)/(3)) )) d x

= int_0^8 sqrt(1 + (4)/(9 x^((2)/(3)))) d x

= int_0^8 sqrt((9 x^((2)/(3)) + 4)/(9 x^((2)/(3)))) d x

= int_0^8 (1)/(3 x^((1)/(3))) (9 x^((2)/(3)) + 4)^((1)/(2)) d x

Vamos resolver utilizando integrais por partes, tendo:

u = 9 x^(2 // 3) + 4

d u = 9 * (2)/(3) x^(- (1)/(3)) d x

Assim,

(1)/(18) int u^((1)/(2)) d u

Portanto,

= (1)/(18) . ((u^((3)/(2)))/((3)/(2)))

= (1)/(27) u^((3)/(2))

Voltando com a variável x

= (1)/(27) . ((9 x^(2 // 3) + 4)^((3)/(2))|_0^8

= (1)/(27) (40 sqrt(40) - 4 sqrt(4))

= (1)/(27) ( 80 sqrt(10) - 8 )

Resposta

Portanto, o comprimento da curva é (1)/(27) (80 sqrt(10) - 8) .

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