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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 17

17. x^2 - y^2 = 1 d e P_0 (3 , - 2 sqrt(2)) a t e P_1 (3,2 sqrt(2))

Passo 1

Nós devemos encontrar o comprimento da curva dada.

 Nós temos:

x^2 - y^2 + 1

x = (1 + y^2)^((1)/(2))

(d x)/(d y) = (1)/(2) * (2 y)/((1 + y^2)^((1)/(2)))

(d x)/(d y) = (y)/((1 + y^2)^((1)/(2)))

Passo 2

Agora prosseguimos da seguinte maneira:

1 + ((d x)/(d y))^2 = 1 + ((y)/((1 + y^2)^((1)/(2))))^2

= 1 + (y^2)/(1 + y^2)

Passo 3

Agora, usaremos a fórmula do comprimento da curva. Entretanto, temos que observar que estamos integrando em relação a variável y, por isso, pegamos os intervalos de integração em função de y.

(x , y) = (3 , - 2 sqrt(2)) -> ( 3,2 sqrt(2) )

Assim, temos o intervalo de - 2 sqrt(2) a 2 sqrt(2) .

s = int_(- 2 sqrt(2) )^(2 sqrt(2)) sqrt(1 + (y^2)/(1 + y^2)) d y

= int_(- 2 sqrt(2) )^(2 sqrt(2)) sqrt((1 + 2 y^2)/(1 + y^2)) d y

Resposta

Portanto, a integral que da o comprimento de arco da curva é

int_(- 2 sqrt(2) )^(2 sqrt(2)) sqrt((1 + 2 y^2)/(1 + y^2)) d y

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Ache o comprimento da curva. y = 1 + 6 x 3 / 2 , 0 ≤ x ≤ 1
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x = y + y 3 , 1 ≤ x ≤ 4
Ache o comprimento da curva. y = 1 + 6 x 3 / 2 , 1 ≤ x ≤ 2
Escreva, mas não calcule, uma integral para o comprimento da curva. x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
Ache o comprimento da curva. x = 1 3 y( y - 3 ) , 1 ≤ y ≤ 9