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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 28

Repita o Exercício 27 para a curva

y = x + sen x , 0 <= x <= 2 pi

Passo 1

  1. Desenho:

    2. Passo 2

  2. Esboço do desenho:

    3. Digamos que f (x) = y = x root(3)(4 - x) . O polígono de um lado é apenas o seguimento de reta unindo os pontos (0 , f (0)) = (0,0) e (2 pi , f (2 pi)) = (2 pi , 2 pi) , e seu comprimento é

    sqrt((2 pi - 0)^2 + (2 pi - 0)^2) = 2 sqrt(2) pi tildetilde 8.9

    O polígono de dois lados une os pontos (0,0) , (pi , f ( pi )) = ( pi , pi ) , e (2 pi , 2 pi) . Seu comprimento é

    sqrt((pi - 0)^2 + (pi - 0)^2) + sqrt((2 pi - pi)^2 + (2 pi - pi)^2) = sqrt(2) pi + sqrt(2) pi = 2 sqrt(2) pi tildetilde 8.9

    Note pelo desenho que as duas aproximações são as mesmas porque os lados dos polígonos de dois lados são, de fato, a mesma linha, desde que f (pi) = pi = (1)/(2) f ( 2 pi ) .

    Similarmente, o polígono inscrito com quatro lados une os pontos (0,0) , ((pi)/(2) , (pi)/(2) + 1) , (pi , pi) , ( (3 pi)/(2) , (3 pi)/(2) - 1 ) e ( 2 pi , 2 pi ) , então seu comprimento é

    sqrt(((pi)/(2))^2 + ((pi)/(2) + 1) ²) + sqrt(((pi)/(2))^2 + ((pi)/(2) - 1) ²) + sqrt(((pi)/(2))^2 + ((pi)/(2) - 1) ²) + sqrt(((pi)/(2))^2 + ((pi)/(2) + 1) ²) tildetilde 9.4

    Passo 3

  3. Usando a fórmula de comprimento do arco com

    4. (d y)/(d x) = 1 + cos x

    o comprimento da curva é

    L = int_0^(2 pi) sqrt(1 + (1 + cos x)^2) d x = int_0^(2 pi) sqrt(2 + 2 cos x + cos^2 x) d x

    Passo 4

  4. De acordo com uma calculadora, o comprimento da curva é L tildetilde 9.5076 . O valor real é maior do que qualquer uma das aproximações feitas na parte (b). Isso é sempre verdade, desde que qualquer aproximação pela reta esquerda entre dois pontos na curva é menor do que o comprimento da curva entre esses dois pontos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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