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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 7

Ache o comprimento do arco da curva 8 y = x 4 + 2 x - 2 do ponto onde x = 1 até o onde x = 2 .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva y = x 4 8 + x - 2 4 entre x = 1 e x = 2 . Assim, devemos calcular

L = ∫ 1 2 1 + y ' 2   d x

Para isso, o primeiro passo é achar y ' :

y ' = 4 x 3 8 - 2 x - 3 4 = 1 2 ( x 3 - x - 3 )

Assim,

1 + y ' 2 = 1 + 1 4 x 6 - 2 + x - 6 = 1 2 + 1 4 x 6 + 1 4 x - 6 = x 6 + 2 + x - 6 4

Assim,

1 + y ' 2 = x 3 + x - 3 2 4 ⇒ 1 + y ' 2 = 1 2 ( x 3 + x - 3 )

Passo 2

Desta forma, temos que

L = 1 2 ∫ 1 2 x 3 + x - 3   d x

Assim,

L = 1 2 x 4 4 - x - 2 2 1 2

Logo,

L = 1 2 16 4 - 1 4 ⋅ 2 - 1 4 + 1 2 = 1 2 4 - 1 8 - 1 4 + 1 2

Portanto,

L = 1 2 4 - 1 8 - 2 8 + 4 8 = 1 2 4 + 1 8 = 1 2 32 8 + 1 8

Assim,

L = 33 16

Resposta

33 16

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