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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 18

Ache o comprimento da curva 9 y 2 = x 2 2 x + 3 no segundo quadrante, do ponto x = - 1 ao ponto onde x = 0 .

Passo 1

Pessoal, para resolver, a primeira coisa a se fazer é lembrar a fórmula que calcula o comprimento de uma curva f ( x ) em um intervalo [ a , b ] .

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Essa é a fórmula. Perceba que precisamos de uma f ( x ) , isso indica que vamos precisar isolar o y na equação do enunciado. Façamos isso então.

9 y 2 = x 2 2 x + 3   →     y = ± 1 3 x 2 2 x + 3 = ± | x | 3 2 x + 3

Como é segundo quadrante, y > 0 e x < 0 . Dessa forma,

f x = - x 3 2 x + 3

Ok! Podemos prosseguir.

Passo 2

O intervalo de integração será de x = - 1 até x = 0 .

Sendo assim, o comprimento é dado por

L = ∫ - 1 0 1 + - x 3 2 x + 3 ' 2 d x

Agora eu vou fazer uma troca de variável u = 2 x + 3   →       d u = 2 d x → d u 2 = d x . Vamos também trocar os limites de integração para não precisar voltar na variável x no final. Se x = - 1   →       u = - 2 + 3 = 1 e se x = 0   →       u = 3 . Dessa forma, a integral será:

L = ∫ 1 3 1 + - x 3 u ' 2 d u 2    

Perceba que sobrou um x , na expressão e u = 2 x + 3   →       x = u - 3 2 . Ficamos então com:

L = ∫ 1 3 1 + - u - 3 6 u ' 2 d u 2    

Vamos obter essa derivada EM RELAÇÃO A X ( u é função de x ):

- u - 3 6 u ' =   - u ⋅ u 1 2 6 + 3 6 u 1 2 ' = - u 3 2 6 + 3 u 1 2 6 '  

= - 3 2 ⋅ u 3 2 - 1 6 + 1 2 ⋅ u 1 2 - 1 2 ⋅ d u d x ⏞ u ' = 2 x + 3 ' = 2 = 2 - u 1 2 4 + u - 1 2 4 = - u 1 2 2 + u - 1 2 2

L = 1 2 ∫ 1 3 1 + - u 1 2 2 + u - 1 2 2 2 d u   = 1 2 ∫ 1 3 1 + u 1 2 2 2 - 2 u 1 2 u - 1 2 4 + u - 1 2 2 2 d u  

= 1 2 ∫ 1 3 u 1 2 2 2 + 2 u 1 2 u - 1 2 4 + u - 1 2 2 2 d u = 1 2 ∫ 1 3 u 1 2 2 + u - 1 2 2 2 d u  

= 1 2 ∫ 1 3 u 1 2 2 + u - 1 2 2 2 d u = 1 2 ∫ 1 3 u 1 2 2 + u - 1 2 2 d u = 1 4 ∫ 1 3 ( u 1 2 + u - 1 2 ) d u    

Passo 3

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

L = 1 4 ∫ 1 3 ( u 1 2 + u - 1 2 ) d u   = 1 4 u 1 2 + 1 1 2 + 1 + u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 1 3

= 1 4 3 3 2 3 2 + 3 1 2 1 2 - 1 3 2 3 2 + 1 1 2 1 2 = 1 2 3 3 2 3 + 3 1 2 - 1 3 2 3 + 1 = 1 2 3 3 3 + 3 - 4 3

= 1 2 3 3 + 3 3 - 4 3 = 1 2 6 3 - 4 3 = 3 3 - 2 3

O resultado procurado é L = 3 3 - 2 3   u . c .

Resposta

L = 3 3 - 2 3   u . c

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