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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 54

Ache o comprimento do arco da curva y = ln sec x de x = 0 a x = (pi)/(4)

Passo 1

Lembremos a fórmula do comprimento do arco de uma curva:

d = int_a^b sqrt(1 + ((d y)/(d x))^2) d x

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular (d y)/(d x) :

y ' = ( ln sec x ) '

Pela regra da cadeia, teremos:

(d y)/(d x) = sec x tan x (1)/(sec x)

Simplificando:

(d y)/(d x) = tan x

Passo 3

Por fim, usaremos a fórmula do comprimento:

d = int_0^((pi)/(4)) sqrt(1 + (tan x)^2) d x

d = int_0^((pi)/(4)) sqrt(sec^2 x) d x

d = int_0^((pi)/(4)) sec x d x

Lembrando que:

int sec x d x = ln |sec x + tan x| + C

Ficaremos com

d = int_0^((pi)/(4)) sec x d x = ln |sec (pi)/(4) + tan (pi)/(4)| - (ln |sec 0 + tan 0|)

d = ln (sqrt(2) + 1) - ln 1

d = ln (sqrt(2) + 1)

Resposta

d = ln (sqrt(2) + 1)

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